实分析答案.pdfVIP

实实实分分分析析析参参参考考考答答答案案案 江寅生王松柏 第一篇 Lebesgue测度论 抽抽抽象象象的的的测测测度度度和和和积积积分分分 测测测度度度 1.设 Ω 是可列集, 是 Ω 的所有有限子集及它们的余集所成的族. 证明 不是 σ 代数. 然而 对于有限次的集运算(并交差余)封闭(这样的非空的集族叫做代数). 证明. 中的元素具有这样的性质: 若某个元素可列, 则这个元素的补集是有限的, 反之 这个元素有限. 也就是说 中Ω 的子集与这个子集的余集不可能同时有限也不可能同时可 列. 我们不妨记 Ω = {a , a , ..., a , ...}, 于是我们取 A = {a }, 则 A ∈ . 进而我们取 n n n− n A = ∪∞ A = {a , a , ..., a , ...}, 那么有 Ac = {a , a , ..., a , ...} , 则A ∈/ . 即 不满足 n n n− n 可列并的性质, 但是它满足有限次的集运算. 我们只需知道一个事实: 任何 中Ω 的两个可列 子集只有有限个元素不相同. 后面的验证是简单的, 这里略去. 2.设µ 是定义在σ 代数 上的非负的有限可加集函数(即A, B ∈ , A ∩ B ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)). 证明, 若 {An }∞ 是 的一个两两不相交的集列, 则 n ∞ µ({An }∞ ) ≥ ∑ µ(An ). n n 举出使上式中等号不成立的例子. 证明. 对任意的 N ∈ , 有 N µ(∪∞ An ) ≥ µ(∪N An ) = ∑ µ(An ), n n n 然后, 令N → ∞, 则有µ(∪∞ An ) ≥ ∑∞ µ(An ). n n 举例如下: 设 µ(A) = { 0, A为有限集; ∞, A为无限集. 其中 = 2 , A ∈ . 显然 ∞ µ(∪∞ An ) = ∞ ∑ µ(An ) = 0. n n 其中An = {n}. 1 3.设 (X, , µ) 是有限测度空间. 若 E , E ∈ 使µ(E △ E ) = 0, 则视E 与E 为同一个 集. 规定