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常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案 习题 2-1 判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： 2 １．(3x −1)dx +(2x +1)dy 0 2 解：P (x , y ) 3x −1，Q(x , y ) 2x +1 ， ∂P ∂Q ∂P ∂Q 则 0 ， 2 ，所以 ≠ 即，原方程不是恰当方程． ∂y ∂x ∂y ∂x ２．(x +2y )dx +(2x +y )dy 0 解：P (x , y ) x +2y , Q(x , y ) 2x −y , ∂P ∂Q ∂P ∂Q 则 2, 2, 所以 ，即 原方程为恰当方程 ∂y ∂x ∂y ∂x 则xdx +(2ydx +2xdy ) −ydy 0, 2 2 x y 两边积分得： +2xy − C. 2 2 3 ．( + ) +( +cy)dy 0 (a,b 和c 为常数) ． ax by dx bx 解：P (x , y ) ax +by, Q(x , y ) bx +cy, ∂P ∂Q ∂P ∂Q 则 b, b, 所以 ，即 原方程为恰当方程 ∂y ∂x ∂y ∂x 则axdx +（）bydx +bxdy + cydy 0, 2 2 ax cy 两边积分得： +bxy + C. 2 2 4 ．(ax −by)dx +(bx −cy)dy 0 (b ≠0) 解：P (x , y ) ax −by, Q(x , y ) bx −cy, ∂P ∂Q ∂P ∂Q 则 =−b, b, 因为 b ≠0 , 所以 ≠ ，即，原方程不为恰当方程 ∂y ∂x ∂ ∂ y x - 1 ­ 常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案 2 ５．(t +1)cos udu +2 t sin udt 0 解：P (t,u) (t 2 +1)cos u, Q(t,u) 2t sin u ∂P ∂Q ∂P ∂Q 则 2t cos u, 2t cos u, 所以 ，即 原方程为恰当方程 ∂t ∂x ∂y ∂x 则(t 2 cos udu +2t sin udt) +