“三线合”性质的逆定理.docVIP

一、 等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理 “三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 逆定理：① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ② 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ③ 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 简言之： 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。 证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在⊿ABD和⊿ECD中 AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=CD ∴⊿ABD≌⊿ECD ∴AB=CE, ∠BAD=∠CED ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠CED=∠CAD ∴AC=CE ∴AB=AC ∴⊿ABC是等腰三角形。 三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。 证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形 证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来 证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理） 二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用 （1）逆定理②的简单应用 例题1 已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂足，ABAC。 求证：∠2=∠1+∠B 分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E， 由逆定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此就可得出 ∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。 （2）逆定理②与中位线综合应用 例题1 已知： 如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。 求证： EF∥AB， EF=(AC-AB) 分析： 由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分 线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。 简单证明：由逆定理②得出⊿AGC是等腰三角形， ∴点E是GC的中点 ∴EF是⊿BGC的中位线 ∴得证。 例题2 如图，已知：在⊿ABC中，BD、CE分别平分∠ABC, ∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm. 求： FG的长。 分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆 定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A F来构造等腰三角形。 简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形 ∴点G是AK的中点 同理可得点F是AH的中点 ∴FG是⊿AHK的中位线 由此就可解出FG的长。 （3）逆定理②与直角三角形的综合应用 例题1 已知，如图，AD为Rt⊿ABC斜边BC上的高， ∠ABD的平分线交AD于M，交AC于 P, ∠CAD的平分线交BP于Q。 求证：⊿QAD是等腰三角形。 分析：由直角三角形的性质可知道∠AQM=90°， 由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以 想到延长AQ交BC于点N。 简单证明：由添辅助线得出⊿ABN是等腰三角形 ∴Q点是AN的中点 在Rt⊿AND中，Q是中点 ∴QA=DQ, ∴得证。 例题2 如图，在等腰⊿ABC中，∠C=90°，如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。 分析：已知条件满足了逆定理2，所以延长BE和AC，交于点F。 简单证明：由所添辅助线可知⊿ABF是等腰三角形 ∴E点是BF的中点 ∴BF=2BE=10 再由⊿ADC和⊿BFC的全等 得出AD=BF 结论求出。 对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件，添加适当的辅助线