一元二次方提高培优.doc

1、一元二次方程的一般式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2、一元二次方程的解法 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） = 1 \* GB3 ① 解为： = 2 \* GB3 ② 解为： = 3 \* GB3 ③ 解为： = 4 \* GB3 ④ 解为： 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0 注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。 配方法 = 1 \* GB3 ①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： 示例： = 2 \* GB3 ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 示例： 备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 （4）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为： = 1 \* GB3 ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： = 2 \* GB3 ② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： = 3 \* GB3 ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： = 1 \* GB3 ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、、 = 2 \* GB3 ②求出，并判断方程解的情况。 = 3 \* GB3 ③代公式：（要注意符号） 备注：一元二次方程的解题步骤： = 1 \* GB3 ①首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算： 如：（同除于10）这样更加方便计算。 （同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算） = 2 \* GB3 ②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 = 3 \* GB3 ③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么： 法2：如果一元二次方程定的两个根为；那么 两边同时除于，展开后可得： ； 法3：如果一元二次方程定的两个根为；那么 = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ① = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得：（余下略） = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ① 常用变形： ， ， ， ， ， 等 练习： 【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根． 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在， 请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 4、韦达定理相关知识 （1）若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。 （2）如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。 （3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 （4）在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。 （5）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解。 5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨 的两个根为，那么： （1）的两个根为：，（原因留给大家自行思考） 例1： 先求出方程：的两根为： ，故原方程的根为： （2）的两个根为：， 例2： 先解得方程：的两根为：，所以原方程的两个解为： 6、应用题 （1）平均增长率的问题： 其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用 7