2012年东南地区冬令营赛前培训题八套.doc

PAGE PAGE 1 年东南地区冬令营赛前培训 测试题A 、设是一个直角梯形，其中∥，，是上的一点，是的三条高，且； 证明：三线共点． 、设为正数,如果以为首项的等比数列满足:也构成等比数列,则称为所对应的一个数列；若，，是一个数列，其中,令； 证明：对于数列的任何三个连续项（）, 皆为常数． 、将个互异质数分别填写于一个凸边形的个顶点处，使得边形的每条边上两端点的填数之和皆是完全平方数，称这样的一个边形为一个“优质边形”； 如果两个优质边形与顶点处所填的个质数， 两两互异，且， 则称这两个边形是相互平等的；试确定：是否存在 、两个相互平等的优质四边形？ 、两个相互平等的优质六边形？ 证明你的结论． 、一位慈善家采用如下方式为其会所招募会员：每个会员可以忽悠其他两个人前来入会，其中，这两个人是未曾被其他人所忽悠过的；而每个的新的会员又可以忽悠其他两个人前来入会，等等．对于某个会员，被其忽悠过的会员，以及被其忽悠过的会员所忽悠的会员，等等，统称为的“下线”．如果某会员所忽悠来的两名会员中的每一个人都至少有名“下线”，则会员在年终可获得慈善家的一张餐宴卷作为奖励． 试确定：若总共有个人成了会员，则在年终时最多有几人能够享受慈善家的餐宴？ 年东南地区冬令营赛前培训 测试题B 、如果正整数可表为：，就称为好数．证明： 存在个互异好数，满足：． 、设为正整数集，是其个子集； 证明：． 、给定正数以及正整数，证明：对于满足条件 （约定）的任意个正数，成立不等式： ． 、不等边的外心为，重心为，分别是边的中点，过点分别作的垂线，若，； 证明：三点共线． 年东南地区冬令营赛前培训 测试题C 、设是一个由非负实数组成的有界无穷项数列，若对每个，皆有 ，且对任意两项，都有；证明：． 、凸四边形的对角线交于，的中点分别为， 且互不重合，的延长线分别交于；证明： 这五个三角形的外接圆共点． 、设，若元正整数集合满足：对任何整数，都存在，，使得与是不互质的数，就称为“好集”． 证明：若为“好集”，且中所有元素之和为，则存在，使得从中删去元素后，所得到的集仍为“好集”． 、对于给定的正整数集合，如果其子集满足：中的任两数（允许相等）之和皆不在中，就称子集是单纯的． 、若是的单纯子集，求的最大值； 、证明：对任一正整数集，存在单纯子集，满足． 年东南地区冬令营赛前培训 测试题 、锐角中，以高为直径的圆，交于，过点分别作圆的切线，若两切线相交于点； 证明：直线重合于的一条中线． 、在平面第一象限任给个点，证明：可以将其中的个点染成红色，其余的个点染成蓝色，使得红色的和与蓝色的和之差的绝对值不大于全体中的最大数，并且红色的的和与蓝色的的和之差的绝对值也不大于全体中的最大数． 、设为正整数的正因数的个数，证明：，其等号何时取到？ 、某公司有个人，每个人都正好认识另外的个人，证明：存在两个人，他们彼此不相识且没有共同的熟人． 年东南地区冬令营赛前培训 测试题 、设实数，证明：满足的有理数只有有限多个． 、过等腰三角形的底边所在直线上的任意一点作直线，分别交直线于，过线段的中点作平行于的直线，分别交直线于， 证明：的外接圆共点；且此四个圆心共圆． 、如果数集满足条件：、；、中的全体元素可以组成一个等差数列，则称集为算术集. 类似地，当集的子集满足上述条件时，则称为的算术子集. 试证：对于元算术集，其算术子集的个数满足等式： . （其中，为正整数的真因数个数，即小于的正因数个数）. 、试求最大的，使得总面积为的任何有限多个小正方形，总可放入一个边长为的正方形中，使其中任两个小正方形都没有公共的内点． 年东南地区冬令营赛前培训 测试题 、证明：对于每个正整数，存在唯一的一个位正整数，它能被整除，并且它的每一位数字皆属于． 、已知是一个元集，是由的具有下述性质的三元子集所构成的一个集簇：其中任两个子集之间至多有一个公共元． 证明：存在的一个子集，满足： 、不包含中的任何集合； 、的元素个数至少是． 、是内的一点，分别是上的点，且， ；内的另一点满足： 证明：当且仅当是的垂心． 、求 … ① 的所有正整数解． 年东南地区冬令营赛前培训 测试题 、如果一直线将的周长分成相等的两部分，就称是的一条“周截线”；过三边的中点分别作的周截线； 、证明：三线共点； 、设三线的交点为， 记， 对所有三角形，求． 、矩阵中，每行及每列的元素中各有一个和一个，其余元素皆为；证明：可以通过有限次行与行的交换以及列与列的交换，化为矩阵，使得 .（即与对应位置上的元素异号） 、在一个九人小班中，已知没有4个人是相互认识的； 求证：这个班能分成4个小组,使得每个小组中的人是互