九年级培优专题(三)次函数整合提升.ppt

九年级数学培优专题训练（三） 二次函数整合提升 知识网络 二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、 对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握 这些性质是学好本章的前提和基础． 再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关 系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平 移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函 数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 加以分析． 热点一：二次函数的图象与性质 【例 1】已知二次函数 y＝2(x－1)2＋m 的图象上有三个点， 坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大 小关系是( ) A．y1y2y3 C．y3y1y2 B．y2y1y3 D．y3y2y1 解析：∵二次函数的解析式为 y＝2(x－1)2＋m， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线 x＝1. ∵点 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)为二次函数 y＝2(x－1)2 ＋m 的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴 x＝1 的距离远 近顺序为 C(－4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)， ∴三点纵坐标的大小关系为 y3y2y1. 答案：D 【跟踪训练】 1．二次函数 y＝x2＋2x－5 有( ) D A．最大值－5 C．最大值－6 B．最小值－5 D．最小值－6 2．抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则 下列平移过程正确的是( ) B A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 3．如图 22-1，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原 点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1 个单位长度，把 Rt△OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1. (1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求 点 C，D 的坐标． 图 22-1 解：(1)由题意，得点 A(1,0)，B1(2,1)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2. 将 B1 坐标代入，得 a＝1. 所以抛物线的解析式为 y＝(x－1)2. (2)因为点 B 坐标为(1,1)，所以直线 OB 的解析式为 y＝x. 侧)．抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为(0,1)． 二次函数 y ＝ax2 ＋bx ＋c(a≠0) 与一元二次 ax2 ＋bx ＋c ＝ 0(a≠0)从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别．当 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 y 值为 0 时，就得到一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0.抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的个数的情况． 当 b2－4ac0 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根； 当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x 轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根； 当 b2－4ac0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点． 热点二：二次函数与一元二次方程的关系 【例 2】 已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一 个定点； (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值． 思路点拨：(1)根据解析式可知，当 x＝0 时，函数值与 m 值无关，故不论 m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1的图象都经过 y 轴上一个定点(0,1)． (2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与 x 轴有 一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答． 解：(1)当 x＝0 时，y＝1. 所以不论m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象都经过 y 轴上的一个定点(0,1)． (2)①当m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点； ②当m≠0 时，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根，所以(－6)2 －4m＝0，解得 m＝9. 综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则 m 的值为 0 或 9. 【跟踪