解答题重难点题型(八)-第23题二次函数综合题.docVIP

解答题重难点题型(八)　第23题二次函数综合题 　　在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设点P的横坐标是m. (1)求这个二次函数的解析式； (2)过点P作PM⊥x轴于点M，交AC于点Q，求线段PQ的最大值； (3)在(2)的条件下，过点P作PH⊥AC于点H，求△PHQ周长的最大值； (4)是否存在点P，使△APC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (5)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (6)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (7)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． (1)【思路点拨】　要求抛物线y＝ax2＋bx＋2的解析式，该解析式中有两个未知数，故需要知道经过该抛物线上的两个点的坐标，结合题意，点A和点B是该抛物线上两点，将这两个点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【自主解答】　解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－3，0)，B(1，0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9a－3b＋2＝0，,a＋b＋2＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,b＝－\f(4,3).)) ∴二次函数的解析式为y＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(4,3)x＋2. (2)【思路点拨】　设出点P的坐标，并用含有字母的代数式表示出PQ的长度，结合字母的取值范围，求出PQ的最大值． 【自主解答】　解：如图1，由题知，C(0，2)，A(－3，0)， 图1 ∴可得直线AC的解析式为y＝eq \f(2,3)x＋2. 设点P(m，－eq \f(2,3)m2－eq \f(4,3)m＋2)． ∵PQ⊥x轴且点Q在直线y＝eq \f(2,3)x＋2上， ∴Q(m，eq \f(2,3)m＋2)． ∴PQ＝(－eq \f(2,3)m2－eq \f(4,3)m＋2)－(eq \f(2,3)m＋2)＝－eq \f(2,3)m2－2m＝－eq \f(2,3)(m＋eq \f(3,2))2＋eq \f(3,2). ∴当m＝－eq \f(3,2)时，PQ取得最大值，最大值为eq \f(3,2).　 　(3)【思路点拨】　在Rt△PHQ中，将PH，QH的边长用PQ的长度表示出来，从而要求△PHQ周长的最大值转化为即求PQ长度的最大值． 【自主解答】　解：如图2，由题知AO＝3，CO＝2，∴AC＝eq \r(13). 图2 ∵PH⊥AC，PQ∥y轴，∴∠QPH＝∠CAO. 则sin∠QPH＝sin∠CAO＝eq \f(CO,AC)＝eq \f(2\r(13),13)， cos∠QPH＝cos∠CAO＝eq \f(AO,AC)＝eq \f(3\r(13),13)，　　∴C△PHQ＝PQ＋QH＋PH ＝PQ＋PQsin∠QPH＋PQcos∠QPH ＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ., 　由(2)知，PQ＝－eq \f(2,3)m2－2m， 则C△PHQ＝(1＋sin∠QPH＋cos∠QPH)PQ ＝(1＋eq \f(2\r(13),13)＋eq \f(3\r(13),13))·(－eq \f(2,3)m2－2m) ＝eq \f(13＋5\r(13),13)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)（m＋\f(3,2)）2＋\f(3,2))) ＝－eq \f(26＋10\r(13),39)(m＋eq \f(3,2))2＋eq \f(39＋15\r(13),26). ∵eq \f(－26＋10\r(13),39)0，且－3m0，∴x＝－eq \f(3,2)时，C△PHQ最大为eq \f(39＋15\r(13),26). ∴△PHQ周长的最大值为eq \f(39＋15\r(13),26). (4)【思路点拨】　要使△ACP的面积最大，可先把△APC的面积用含有字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得点P坐标． 【自主解答】　解：设点P坐标为(m，－eq \f(2,3)m2－eq \f(4,3)m＋2)． 方法一：由(2)知PQ＝－eq \f(2,3)m2－2m， ∴S△ACP＝S△PQC＋S△PQA＝eq \f(1,2)·PQ·(xC－xP)＋eq \f(1,