A-初中数学竞赛辅导知识点2017.10.13.docVIP

PAGE 第 PAGE 11 页 （共 NUMPAGES 11 页） 初中数学竞赛辅导资料 第一讲　数的整除 一、内容提要： 如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征： 　　①抹去个位数　　②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。 如　1001　　100－2＝98（能被7整除） 又如7007　　700－14＝686，　　68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：　　 ①抹去个位数　　②减去原个位数　　　③其差能被11整除 如　1001　　　100－1＝99（能11整除） 又如10285　　1028－5＝1023　　102－3＝99（能11整除） 　　　　　　第二讲 倍数　约数 一、内容提要 1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。 例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。 　　　　　　第三讲　质数　合数 一、内容提要 1、正整数的一种分类： 　 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 　合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 根椐质数定义可知 质数只有1和本身两个正约数。 质数中只有一个偶数2。 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；　 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。　 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 第四讲 零的特性 一、内容提要 （一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。　　　零是自然数，是整数，是偶数。 1、零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支平衡可记作结存0元。 2、零是判定正、负数的界限。 若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作　a＞0 a是正数　　读作a＞0等价于a是正数 　　　　b0 b 是负数 　　　　c≥0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） 　　　　d0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) 　　　　e0 e不是0（即e不是0，而是负数或正数） 3、在一切非负数中有一个最小值是0。 例如　绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0， a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。 4、在一切非正数中有一个最大值是0。 例如　－||≤0，当＝0时，－||值最大，是0（∵≠0时都是负数）。 　　0，当＝2时，的值最大，是0。 （二）零具有独特的运算性质 1、乘方：零的正整数次幂都是零。 2、除法：零除以任何不等于零的数都得零； 零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。 3、乘法：零乘以任何数都得零。即a×0＝0， 反过来，如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。 要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。 4、加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 　　　 即a、b互为相反数a+b=0 5、减法：两个数a和