“圆来如此简单”经几何模型之隐圆专题.pdfVIP

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” ————段廉洁 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”， 但是解题中必须用到 “圆”的知识点，像这样的题我们称之为 “隐圆模型”。 正所谓：有 “圆”千里来相会，无 “圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口 就在于能否看出这个 “隐藏的圆”。一旦 “圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长 （通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的 “前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。 五．“隐圆”题型知识储备 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1. （2017威海）如图1，△ABC为等边三角形，AB 2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB ∠ACP，则线段PB 长度的最小值为__________。 简答：因为∠PAB ∠PCA，∠PAB+∠PAC 60°，所以∠PAC+∠PCA 60°，即∠APC 120°。 因为AC定长、∠APC 120°定角，故满足“定弦定角模型”，P 在圆上，圆周角∠APC 120°， 通过简单推导可知圆心角∠AOC 60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA 为半径作⊙O，P 在⊙O上。当B、P、O三点共线时，BP 最短 （知识储备一：点圆距离）， 3 此时BP 2 -2 2.如图1所示，边长为2 的等边△ABC 的原点A 在x 轴的正半轴上移动，∠BOD 30°， 顶点A 在射线OD 上移动，则顶点C到原点O 的最大距离为__________。 简答：因为∠AOB 30° （定角），AB 2 （定弦），故A、B、O三点共圆，圆心角为60°， 故以AB 为边向O方向作等边△ABQ，∠AQB 60°为圆心角，Q为圆心，以QA 为半径作 ⊙ Q （如 图 2 ）， 由知 识 储 备 二 可 知 当 OC ⊥AB 时 ， OC 距 离 最 大 ， 3 3 3 OC OQ+QH+HC 2+ + 2+2 【思考：若∠BOD 45°呢？ （提示：需要构造倍角 模型）】 3.如图1，点A 是直线y -x 上的一个动点，点B 是x 轴上的动点，若AB 2，则△AOB 面 积最大值为 （ ） A. 2 B. 2 1 C. 2 1 D.2 2 简答：因为AB 2（定弦），∠AOB 135°（定角），因为∠AOB 是圆周角，故圆心角为90°， 以AB 为斜边向上方作等腰直角△QAB，则Q为圆心 （如图2），由“知识储备二”可知， 当 OQ ⊥ AB 时 ， 此 时 △ OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 积 最 大 。 面 积 为 1 1 AB OH 2( 2 1) 2 1，所以此题选择B。 2 2 同学：老师，你说错答案了，选C。 小段老师：没错啊，就选B 啊。 同学：你是老师，你说了算，你开心就好... 小段老师：题目有告诉你们A、B 在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB 135°呢，难道不可 能等于45°吗？如图3，构建⊙Q，由 “知识储备二”可知当OQ⊥AB 时，此时△OAB 的 1 1 面积最大为 AB OH 2( 2+1) 2+1，故答案选B 2 2 4.如图1，AC为边长为2 3 的菱形ABCD 的对角线，∠ABC 60°，点M、N 分别从点B、 C 同时出发，以相同速度沿BC、CA 向终点C和A 运动，连接AM 和BN，求△APB 周长 的最大值 简答：如图2，由M、N 点速度相同可知BM CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC ∠BAM （如图2），又因为∠NBC+∠ABN 60°，所以∠BA