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二重积分的应用 电自092班 —张凯强 0902100202 摘要：重积分是微积分学中的主要概念之一，许多物理、几何中的量都要用它来描述和计算。本文首先介绍定积分应用中的元素法，从而利用重积分的元素法来讨论重积分在几何物理上的一些应用。 关键词：二重积分的应用 元素法 前言： 一、 元素法 二、 二重积分在几何问题中的应用 三、 二重积分在物理问题中的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对与闭区域D具有可加性（即当闭区域D分成许多小区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），相应地部分量可近似地表示为f（x，y）dδ的形式，其中（x，y）在dδ内。这个f（x，y）dδ称为所求量U的元素，记为dU,所求量的积分表达式为U=∫∫f（x，y）dδ。 几何应用： 曲面和面积 设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。 在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。 曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为 它与轴正向所成夹角的方向余弦为 而 所以 这就是曲面的面积元素, 故 故 【例1】求球面含在柱面() 内部的面积。 解:所求曲面在面的投影区域 曲面方程应取为 , 则 , 曲面在面上的投影区域为 据曲面的对称性,有 若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有 或 物理应用 一、平面薄片的重心 1、平面上的质点系的重心 其质点系的重心坐标为 , 2、平面薄片的重心 设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。 这就是力矩元素,于是 又平面薄片的总质量 从而,薄片的重心坐标为 特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。 【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆, ()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。 解: 由的对称性可知: 而 故 二、平面薄片的转动惯量 1、平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。 设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为 2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为 【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。 解: 转动惯量元素为 三、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点 处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。 于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为 故 总结：本文主要讨论了二重积分在几何、物理上的一些应用，对重积分的应用可利用公式直接求解，也可采用元素法，利用物理公式寻找所求量的微元，推导应用的公式，选择恰当的坐标系，然后在相应的积分区域上计算重积分。 参考文献： 高等数学. 下册 / 同济大学数学系边. –6版.—北京：高等教育出版社，2007.6 同济大学 彭辉 张天德. 高等数学辅导（同济第六版） 2010全国硕士研究生入学统一考试.高等数学.辅导教材（主编：黄庆怀）