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各个维度中的库仑定律 作者： 张睿骁 北师大物理系09 级 200911141029 各个维度中的库仑定律 物理系 张睿骁 摘要 根据三维空间中的库仑定律来推测二维中的库仑定律的形式，利用高斯定理来确定其中的系 数。在这一过程中会发现二维空间中的点电荷可以当做三维中无限长带电直导线在二维空间中的 投影来看待，这为计算四维及更高维度空间中的库仑定律提供了方法——n 维空间中的点电荷可 以当做n+1 维空间中无限长带电直导线在n 维空间中的投影。这样，在假定高斯定理对于所有维 度中的电场都成立的前提下，便可以计算出四维空间中的情况，并由此找出在更高维空间中的递 推公式，再藉此深入分析维度的性质，包括维度与方向的联系等。 关键词 库仑定律、高斯定理、维度、方向度 - 1 - 各个维度中的库仑定律 物理系 张睿骁 二维情况 在三维空间中，库仑定律为 ⇀ 1 q1q2 ^ F = r 4πϵ0 r2 点电荷周围的电场强度为 ⇀ 1 q ^ E = r 4πϵ0 r2 它满足高斯定理，即 ⇀ ⇀ 1 ∑q ^ ⇀ ∑q dS ∑q ∑q ∯ E · dS = ∯ 4πϵ0 r2 r · dS = 4πϵ0 ∯ r2 = 4πϵ0 ∯ dΩ = ϵ0 这里我们发现，电场强度满足高斯定律的直接原因是它与 r 的平方严格呈反比。而这一点直 接来自三维空间的性质——能量扩散的包络面是二维的，面积与r 的平方呈正比。所以在一维中， 不难想象，它会与r 的一次方呈正比。故假设，在二维空间中E ∝ q ，即E = k q 。假设高斯定理在 r r 二维中有和三维中一样的形式，则 ⇀ ⇀ ∑q ∮ E · dln = ϵ0 1 易求出k = ，故二维空间中的电场强度为 2πϵ0 ⇀ 1 q ^ E = r 2πϵ0 r 注意到这个形