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数形结合在小学数学解决问题中的运用 许巷中心小学 傅玲玲 [摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含 “以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 [关键词]数形结合；解决问题；小学数学 数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。数形结合的思想是数学的重要思想之一。［1］ 数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。[2] 数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。 故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。它包含 “以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。 本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。 一、以数解形，使复杂的问题简单化 以数解形就是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。[3]有些图形过于简单，直接观察却看不出什么规律，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。因为往往一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数解形，用代数的方法使问题得到解决。 如在学习了《异分母分数加减法》后曾出现这样一道题目：下列图形中阴影部分的总和分别是多少？（原正方形的面积是“1”） 图 图1 图2 图3 初看图形，图形很简单，但大多数学生不能马上得出答案，此时，必须要借助数，通过代数方法来计算出阴影部分的面积。已知原正方形的面积是“1”，通过观察，发现计算图1阴影的面积，即计算，学生是非常容易算的，可以直接通分，然后求出结果。计算图2阴影的面积，即计算，难度也不大，通分照样能够解决问题，但是如果运用数形结合的思想，学生就会发现，原来可以算得更简单，阴影部分=1—空白部分，即；则图3阴影面积等于。依此类推，如果计算下一个图形的阴影部分面积，即等于，就变得非常方便与简洁了。虽是面积问题，但我们运用数形结合的思想，用代数方法以数解形，使复杂的问题简单化。 二、以形助数，使抽象的问题形象化 以形助数是借助于形的直观性来阐述数之间的联系，即以形作为手段，数为目的。[3] 在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，转化为几何问题，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，使原本抽象而复杂的问题变得形象化、简单化。 分数应用题是小学应用题教学的重点和难点，由于抽象程度比较高，学生难以理解和掌握。在教学中，仅让学生凭借教师总结的解题技巧去按图索骥，是难以达到预期效果的，要较好地解决这个问题，就必须运用数形结合的思想。 如：一篮鸡蛋，第一次拿走整篮鸡蛋的，第二次又拿走剩下的，最后篮子里还有4个鸡蛋。你知道原来这个篮子里有几个鸡蛋吗?(三年级习题) 这道题单位“l”的量发生变化，第一次是把“整篮鸡蛋”看作单位“1”的量，第二次把“剩下的鸡蛋”看作单位 “1”的量，因此学生在解答时往往会感到困难。只要运用数形结合的思想帮助弄清题意，这道题就简便多了。画线段图如下： 单位 单位“1”（一篮鸡蛋） 拿走 剩下 单位“1” （剩下 篮鸡蛋） 拿走剩下 的 还剩4个 鸡蛋 14从上述线段图中可以很清楚地看出，拿走剩下的，还有4个鸡蛋，那么第一次拿走后“剩下的鸡蛋”的数量应该是4个的2倍，即8个。所以整篮鸡蛋的数量就是8个的2倍，即16个，列式为4×2×2=16(个)。如此抽象的思维有了“形”这个桥梁作为依托，思考起来既省时又省力。 1 4 又如：美术小组有25人，美术