必威体育精装版北师大版九年级上相似三角形(知识点+练习例题+答案).docVIP

PAGE PAGE \* MERGEFORMAT - 6 - 学生编号 学生姓名 授课教师 辅导学科 九年级数学 教材版本 上教 课题名称 相似三角形 课时进度 总第（ ）课时 授课时间 7月28日 教学目标 掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方法方法解决实际问题。 重点难点 重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质 难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形． 同步教学内容及授课步骤 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 # HYPERLINK /view/8935.htm \t _blank 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 HYPERLINK /view/90132.htm \t _blank 比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 　　 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： 　　 （1）（AD）2=BD·DC， 　　 （2）（AB）2=BD·BC ， 　　 （3）（AC）2=CD·BC 。 　　注：由上述射影定理还可以证明 HYPERLINK /view/366.htm \t _blank 勾股定理。即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。 典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD，AC于E、 F，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC ∴BE＝EC，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG∥AB，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG＝∠CEF，∴△CEF∽△GEC，∴= ∴EC2＝EG· EF，故EB2=EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段BE，EF，EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD是Rt△ABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于F，求证：= 证法一：如图，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝Rt∠，AD⊥BC， ∴∠3＝∠C，又E是Rt△ADC的斜边AC上的中点， ∴ED=AC＝EC，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB＝∠AFD，∴△DFB∽△AFD，∴＝ （1） 又AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴= （2） 由（1）（2）两式得=，故= 证法二：过点A作AG∥EF交CB延长线于点G，则= （1） ∵E是AC的中点，ED∥AC，∴D是GC的中点，又AD⊥GC，∴AD是线段GC的垂直平分线，∴AG＝AC （2） 由（1）（2）两式得：=，证毕。 ? 【解题技巧点拨】 本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证． 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠