线性代数历年考研试题（卷）之填空题.doc

WORD文档 下载可编辑 专业技术 资料分享 一、填空题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)已知三维线性空间的一组基底为,则向量在上述基底下的坐标是 . 【考点】向量在基下的坐标. 解 方法一:设,得方程组解得. 方法二:,解矩阵方程得. 【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的. 2.(1988—Ⅰ,Ⅱ)设矩阵,其中均为4维列向量,且已知行列式,则行列式 . 【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质. 解 . 【注意】. 3.(1988—Ⅳ,Ⅴ) . 【考点】行列式的计算. 方法一: . 方法二: . 【注】副对角行列式 . 4.(1988—Ⅳ,Ⅴ) . 【考点】求逆矩阵. 解 方法一:,所以 . 方法二:利用分块矩阵求逆公式得到. 【注】. 方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵. 【注】. 5.(1989—Ⅰ,Ⅱ)设矩阵,则逆矩阵 . 【考点】分块矩阵求逆. 解 . 【注】(1) ; (2) . 6.(1989—Ⅳ)齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是 . 【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 个方程个未知数的齐次线性方程组只有零解,即 . 7.(1989—Ⅴ)行列式 . 【考点】行列式的计算. 解 8.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组 , 则该向量组的秩是 . 【考点】向量组秩的计算. 解 9.(1990—Ⅳ,Ⅴ)若线性方程组有解,则常数应满足条件 . 【考点】非齐次线性方程组解的理论. 解 非齐次线性方程组有解. ,则 . 10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设4阶方阵,则的逆阵 . 【考点】分块矩阵求逆. 解 . 11.(1991—Ⅳ)设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 . 【考点】抽象分块矩阵求逆. 解 设,由,得 , 所以. 12.(1991—Ⅴ)阶行列式 . 【考点】行列式的计算. 解 把行列式按第1列展开,得 . 13.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设,其中,则矩阵的秩 . 【考点】矩阵秩的计算. 解 . 14.(1992—Ⅳ)设为阶方阵,为阶方阵,且,则 . 【考点】行列式的性质. 解 . 15.(1992—Ⅴ)矩阵的非零特征值是 . 【考点】特征值的计算. 解 方法一: , 则为所求. 方法二: 为实对称矩阵且,则只有一个非零特征值;又的主对角线元素之和为4,则所求非零特征值为4. 【注】(1)若为实对称矩阵,则的非零特征值的个数.事实上,由为实对称矩阵,则存在可逆矩阵,使得 , 其中为的特征值,所以 中非零的个数. (2) 的特征值之和等于的对角线元素之和. 16.(1993—Ⅰ,Ⅱ)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解为 . 【考点】齐次线性方程组解的结构. 解 的秩为,则线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 . 由的各行元素之和均为零,知向量是线性方程组的一个非零解,故线性方程组的通解为 为任意常数. 【注】对于抽象的齐次(非齐次)线性方程组,求其通解时都是根据其解的结构解决. 17.(1993—Ⅳ,Ⅴ)设四阶方阵的秩为2,则其伴随矩阵的秩为 . 【考点】的秩与其伴随矩阵的秩的关系. 解 . 【注】 18.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知,设,其中是的转置,则 . 【考点】矩阵的基本运算. 解 . 【注意】为常数,而为方阵. 19.(1994—Ⅳ,Ⅴ)设,且,则 . 【考点】分块矩阵求逆. 解 . 20.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设三阶方阵满足关系式,且,则 . 【考点】解矩阵方程. 解 由得. 【注】,其中全不为零. 21.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设,为的伴随矩阵,则 . 【考点】逆矩阵的性质. 解 由. 【注意】当可逆时,. 22.(1996—Ⅰ,Ⅱ)设是矩阵,且的秩,而,则 . 【考点】矩阵秩的性质. 解 由知可逆,则. 【注】当可逆时,,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩