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2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1.已知函数有最小值,则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.取决于的值
【答案】C
【解析】注意,答案C.
2. 已知的三个内角所对的边为.下列条件中,能使得的形状唯一确定的有( )
A.
B.
C.
D.
【答案】AD.
3.已知函数,下列说法中正确的有( )
A.在点处有公切线
B.存在的某条切线与的某条切线平行
C.有且只有一个交点
D.有且只有两个交点
【答案】BD
【解析】注意到为函数在处的切线,如图,因此答案BD.
4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点.下列说法中正确的有( )
A.以线段为直径的圆与直线一定相离
B.的最小值为
C.的最小值为
D.以线段为直径的圆与轴一定相切
【答案】AB
【解析】对于选项A,点到准线的距离为,于是以线段为直径的圆与直线一定相切,进而与直线一定相离;对于选项B,C,设,则,于是,最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D,显然中点的横坐标与不一定相等,因此命题错误.
5.已知是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点.下列说法中正确的有( )
A.时,满足的点有两个
B.时,满足的点有四个
C.的周长小于
D.的面积小于等于
【答案】ABCD.
【解析】对于选项A,B,椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点;对于选项C,的周长为;选项D,的面积为.
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:
甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;
乙:我没有获奖,丙获奖了;
丙:甲、丁中有且只有一个获奖;
丁:乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】BD
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD.
7.已知为圆的一条弦(非直径),于,为圆上任意一点,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点.以下说法正确的有( )
A.四点共圆 B.四点共圆
C.四点共圆 D.以上三个说法均不对
【答案】AC
【解析】对于选项A,即得;对于选项B,若命题成立,则为直径,必然有为直角,不符合题意;对于选项C,即得.答案:AC.
8.是为锐角三角形的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性:由于,
类似地,有,于是.
不充分性:当时,不等式成立,但不是锐角三角形.
9.已知为正整数,且,那么方程的解的组数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于,故.
若,则,可得;
若,则,可得;
若,则,进而解得;
若,则,可得.
答案:B.
10.集合,任取这三个式子中至少有一个成立,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
11.已知,则下列各式中成立的有( )
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】令,则,所以,以上三式相加,即有.
类似地,有,以上三式相加,即有.答案BD.
12.已知实数满足,则的最大值也最小值乘积属于区间( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设函数,则其导函数,作出的图象,函数的图象在处的切线,以及函数的图象过点和的割线,如图,于是可得,左侧等号当或时取得; 右侧等号当时取得.因此原式的最大值为,当时取得;最小值为,当时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B.
13.已知,则下列结论正确的有( )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最大值为 D.的最小值为
【答案】ABD
14.数列满足,对任意正整数,以下说法中正确的有( )
A.为定值 B.或
C.为完全平方数 D.为完全平方数
【答案】ACD
【解析】因为,选项A正确;由于,故,又对任意正整数恒成立,所以,故选项C、D正确.计算前几个数可判断选项B错误.
说明:若数列满足,则为定值.
15.若复数满足,则可以取到的值有( )
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】因为,故,等号分别当和时取得.答案CD.
16. 从正2016边形的顶点中任取
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