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二次函数复习重点以及根的分布问题
初三数学培优卷:二次函数考点分析
★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:
开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
★★二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
一般式:y=ax2+bx+c,三个点
顶点式:y=a(x-h)2+k,顶点坐标对称轴
顶点坐标(-,).
顶点坐标(h,k)
★★★a b c作用分析
│a│的大小决定了开口的宽窄,│a│越大,开口越小,│a│越小,开口越大,
a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y轴,当a,b同号时,对称轴x=-0,即对称轴在y轴左侧,当a,b异号时,对称轴x=-0,即对称轴在y轴右侧,(左同右异y轴为0)
c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c0时,与y轴交于正半轴;c0时,与y轴交于负半轴,以上a,b,c的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.
交点式:y=a(x- x1)(x- x2),(有交点的情况)
与x轴的两个交点坐标x1,x2
对称轴为
一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表二:(两根与的大小比较)
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表三:(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种)
一根在内,另一根在内,
大致图象()
得出的结论
或
大致图象()
得出的结论
或
综合结论(不讨论)
——————
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)需满足的条件是
(1)时,; (2)时,
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:
若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或
例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。
例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。
例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。
例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。
1.解:由 即 ,从而得即为所求的范围。
2解:由
或即为所求的范围。
3解:由 即 即为所求的范围。
4解:由题意有方程在区间上只有一个正根,则 即为所求范围。
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合题意,计算量稍大)
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