《概率论与数理计》习题三答案.docVIP

PAGE PAGE 13 《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X X Y 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 P(0黑,2红,2白)= 0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= 求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率. 【解】如图 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= 求：（1） 常数A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X1，0≤Y2}. 【解】（1） 由 得 A=12 （2） 由定义，有 (3) 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有 故  （2） (3) (4) 题5图 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为 fY（y）= 求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 题6图 【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为 而 所以 (2) 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= 求（X，Y）的联合分布密度. 【解】 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 求边缘概率密度. 【解】 题8图 题9图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 求边缘概率密度. 【解】 题10图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1） 得. (2) 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 题11图 【解】 所以 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 Y Y X 3 4 5 1 2 0 3 0 0 (2) 因 故X与Y不独立 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 X X Y 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 X X Y 2 5 8 P{Y=yi} 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38 (2) 因 故X与Y不独立. 14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为 fY（y）= （1）求X和Y的联合概率密度； （2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率. 【解】（1） 因 故 题14图 (2) 方程有实根的条件是 故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为： 15.设X和Y