4-4-变上限积分函数及其导数.docxVIP

模块基本信息 一级模块名称 积分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 变上限积分函数及其导数 模块编号 4-4 先行知识 1、定积分的概念 模块编号 4-2 2、定积分的性质 模块编号 4-3 知识内容 教学要求 掌握程度 1、变上限积分函数及原函数的概念 1、理解变上限积分函数及原函数的概念 一般掌握 2、变上限积分函数的求导 2、掌握变上限积分函数的求导 能力目标 培养学生知识类比、迁移的能力 时间分配 45分钟 编撰 王明 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的定义，通过两个定理来展示变上限积分函数的性质. 特点：引导学生根据已学过的相关知识理解新知识 二、授课部分 （一）新课讲授 前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分基本定理。为了学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关知识，为微积分基本定理的证明做准备. 1、变上限积分函数 定义：设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 并且设x为[a, b]上的一点， 考察定积分，如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的，定积分都有一个相应的积分值与之对应.因此它在上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作 ?(x), 为明确起见，常记作?(x)?。 说明：当，利用定积分的几何意义可以直观地看到积分上限的函数所表示的意义：积分表示图1中阴影部分的面积. y=f(x) y=f(x) ?(x) 图1 下面讨论这个函数的可导性 定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 ?(x) 在[a, b]上具有导数, 并且它的导数为 ??(x)(a?xb). (选讲)证明：若x?(a, b), 取?x使x??x?(a, b). ????(x??x)??(x) , 应用积分中值定理, 有???f (?)?x, 其中?在x 与x??x之间, ?x?0时, ??x . 于是 ??(x). 若x?a , 取?x0, 则同理可证???(x)? f(a); 若x?b , 取?x0, 则同理可证???(x)? f(b). 注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数本身 （2）若，则称函数?(x)为f (x)在[a, b]上的一个原函数. 此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数. 2、例题 例1 求下列函数的导数： （一级） （一级） （二级） （4）（二级） 解：（1）直接利用积分上限函数的求导法则，. （2）,则. (3) 可视为与构成的复合函数，则由复合函数求导公式可得 . 说明：利用此方法，可推出一般公式 （4） 则 说明：一般的，若，有 例2 求极限. （二级） 解： 此极限是型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式得 原式= 例3 求极限. （二级） 解： 此极限是型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式有 三、能力反馈部分 1、求下列函数的导数（掌握变上限积分函数的求导） （一级） （一级） （二级） 2、求极限（利用变上限积分函数的求导求极限） （1）. （二级） （2）（二级）