南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和.docVIP

南京市2018届高三数学二轮专题复习资料 第 PAGE 47 页 共 NUMPAGES 48 页 应用专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和 问题归类篇 类型一：等差、等比数列的基本运算 一、前测回顾 1．已知{an}是等差数列，若2a7－a5－3＝0，则a9＝________． 答案：3． 解析：方法一：设公差为d，则2(a1＋6d)－(a1＋4d)－3＝0，即a1＋8d＝3，所以a9＝3． 方法二：由等差数列的性质得a5＋a9＝2a7，所以(a5＋a9)－a5－3＝0，即a9＝3． 2．(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋aeq \o\al(2,2)＝－3，S5＝10，则a9的值是________. 答案：20． 解析：设等差数列{an}公差为d，由题意可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）2＝－3，,5a1＋\f(5×4,2)d＝10，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3，)) 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20. 3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________． 答案：－7． 解析：设数列{an}的公比为q，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a5·a6＝a4·a7＝－8))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－8，,q3＝－\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q3＝－2，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－8，,a10＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a10＝－8，))所以a1＋a10＝－7. 4．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝________. 答案：60． 解析：方法一：设等比数列{an}公比为q，由题意可得q≠1，则 由 得 ，所以S12＝ eq \f(a1 (1－q12),1－q)＝60. 方法二：由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60. 5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大. 答案：8． 解析：根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，所以a9＜0，所以当n＝8时，{an}的前n项和最大. 二、方法联想 1．基本量运算 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．求解涉及等差、等比数列的运算问题时，通常会抓住a1、d(或q)，列出方程、不等式或方程组求解，这样做的好处是思路简洁，目标明确，但有时运算量比较大．为了减少运算量，我们要掌握一些运算技巧，例如“设而不求，整体代入”． 2．性质的应用 用好等差、等比数列的性质也能减少运算量． 方法 (1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq．特别若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q则aman＝apaq．特别若m＋n＝2p，则aman＝ap2． (2) 在等差数列{an}中，由Sn＝ eq \f(n(a1＋an),2)得，若n为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an． 方法 在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列． 在等比数列{an}中，一般情况下Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 3．等差数列Sn的最值问题 方法 在等差数列{ an }中Sn 的最值问题： 方法1：(1)当a1＞0，d＜0时，满足 eq \b\lc\{(\a\al(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sm取最大值. (2)当a1＜0，d＞0时，满足 eq \b\lc\{(\a\al(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sm取最小值， 方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析． 三、归类巩固 *1．(2014·江