96开口薄壁杆的扭转.DOC

§9.5 矩形截面杆的扭转 学习思路:?? ??? 应力函数的确定是扭转应力解法的关键。但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。 ??? 矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。 ??? 第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。 ??? 第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。 ??? 最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。并且分析横截面切应力分布。 学习要点： ??? 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninthHTM 矩形截面柱体的扭转分析； ??? 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninthHTM 扭转应力函数； ??? 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninthHTM 扭转级数解； ??? 4. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninthHTM 矩形截面柱体扭转切应力；?? ??? 5. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninthHTM 横截面应力分析 设矩形的边长为a和b， HYPERLINK javascript:expands(P2) 如图所示。矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为 原因很简单，这个应力函数虽然满足 ?c＝0，但是 HYPERLINK javascript:expands(P1) 泊松方程却不可能满足。 ?? ??? 由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。因为拉普拉斯方程求解相对简单。 ??? 因为变形协调方程 有一个特解 ，所以设 ??? 则变形协调方程转化为 ??? 对于柱体的侧面面力边界条件，?c＝0 ，则要求?0满足边界条件 由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。所以，设扭转应力函数? 0(x,y)为 ??? 代入 HYPERLINK javascript:expands(P1) 变形协调方程，则 ??? 将上式改写为，? , 其中?为任意常数。 根据??????????????????????????????????? 所以????????????????????????????? ??? 根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。所以 ??? 上式仅是 HYPERLINK javascript:expands(P2) 方程的一个特解。如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以? 0(x,y)写作 根据 HYPERLINK javascript:expands(P1) 边界条件的第二式，有 ??? 由于，所以 。 ??? 因此，。回代可得 ??? 根据 HYPERLINK javascript:expands(P2) 边界条件的第一式，有 ??? 对于上式两边同时乘以 ，并在（?b，b）区间积分，可得 ??? 所以，应力函数为 根据应力函数表达式，应力分量为 上式中的单位长度扭转角? 由端面面力边界条件确定，即???? ??? 对于上述级数，其收敛很快，取n=0一项分析，则 根据切应力表达式，可以得到矩形横截面的应力分布， HYPERLINK javascript:expands(P2) 如图所示。最大切应力发生在矩形长边的中点，即 ??? 根据 HYPERLINK javascript:expands(P1) 公式,可得单位长度扭转角 和最大扭转切应力????????????????????????????? ? 其中,??和 ? 都是仅与比值 a/b 有关的参数，这两个因子通过计算可以表示如下： ?????????? §9.6 开口薄壁杆的扭转 学习思路:?? ??? 狭长矩形是指矩形横截面的一边长度远大于另外一边，这个问题有明显的工程意义。工程结构中广泛使用的形材大多是狭长矩形或者曲边狭长矩形组成的开口薄壁杆件。 ??? 根据薄膜比拟，横截面的切应力方向是与狭长矩形的长边一致，而且数值不变。这个条件使得狭长矩形的扭转切应力公式不难推导，同时，直边与曲边狭长矩形的应力分布是相同的。 ??? 对于开口薄壁杆件的扭转切应力分析，首先将开口薄壁杆件分解为一系列的狭长矩形。这