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5.2 虚功原理 * * 5.2 虚功原理 处理静态平衡问题，按照牛顿力学需要列出一系列包含约束力的平衡方程。约束力一般是未知的，所以物体所受约束越多，牛顿力学的处理就会显得越复杂，难以应付。 分析力学中的虚功原理(又叫虚位移原理)，提供了另外一种解决思路和办法，可以不必考虑约束力，只需考虑主动力。 5.2.1 实位移与虚位移 实位移( ) 虚位移( ) 质点在时间段 内按照运动学规律产生的真实位移。 质点在某时刻( )在不违背约束的前提下，人为假想的位移。 5.2.1 实位移与虚位移 虚位移的特点 小虫P停在膨胀的气球表面上。 经过 时间段，到达虚线位置。 任意时刻，其虚位移都必须与球面相切。 (1) 不需产生时间 (2) 总与约束面(或线)相切 (3) 任意性 不稳定约束情况 对于稳定约束，实位移是众多虚位移中的一个。 5.2.2 理想约束 质点组含n个质点，设质点i受到的约束力为 ，若约束满足 即约束力做的虚功之和为零， 则称质点组受到的约束是理想约束。 因为虚位移总与约束面(或线)相切，如果约束力仅包含与约束面(或线)垂直的压力或支持力，则约束力的虚功必定为零。 理想约束的情况：光滑面、光滑曲线、光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳等。 5.2.3 虚功原理 又叫虚位移原理，用于处理受理想约束系统的静力学平衡问题。 虚功方程 质点组处于静态平衡，质点i所受合力为零: 其中 是主动力之合； 是约束力之合。 总的虚功为零： 在理想约束情况下： 即虚功方程 5.2.3 虚功原理 虚功原理的内容表述 虚功方程的物理含义就是虚功原理；虚功原理的内容通过虚功方程来体现。 虚功原理：对于受理想约束的静态平衡力学系统，主动力在任意虚位移中所做的元功之和为零，即： 可见，虚功原理只考虑主动力，不考虑约束力。 5.2.3 虚功原理 对非理想约束系统也可应用虚功原理 解除非理想约束物，但保留相应的约束力，并把此约束力看做主动力，这样就把原系统化为了理想约束系统，仍然可以使用虚功原理。并且可以求解此约束力。 其代价是系统位形自由度会增加。 去掉绳子 保留拉力T 5.2.3 虚功原理 广义坐标系下的虚功方程 虚位移 虚功： 其中 称为广义力 虚功方程： 5.2.3 虚功原理 虚功方程： 广义坐标系下的虚功方程 若系统是完整系，则 是一组相互独立的变量，于是可得： 完整系 即系统的静力学平衡方程 总结： 对于受理想约束的完整系，其静力学平衡方程为 若不是完整系，则要消去不独立 均匀杆OA, 重P1, 长为l1, 能在竖直平面内绕固定铰链O转动。此杆的A端，用铰链连另一重P2、长为l2的均匀杆AB。 在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此二杆与水平线所成的角度 和 。 5.2.3 虚功原理 例题 解：设三个主动力 的作用点坐标分别是 虚功方程： 5.2.3 虚功原理 例题 在图示(静止)坐标系下， 虚功方程： (1)