三角形全等证明题中常用的辅助线的几种方法。。.docVIP

一、截长补短 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 　　　　　　　　　　　　　　 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC， CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 二、倍长中线（线段）造全等 2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：延长FD于K,使得DK=DF ∵DE⊥DF ∴∠EDK=∠EDF=90o 又∵DK=DF ED为公共边 ∴⊿EDK≌⊿EFD ∴EK=EF 三、作平行线 3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：作DH∥AE交BC于H． ∴∠DHB=∠ACB， ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB ∴∠DHB=∠B，DH=BD ∵CE=BD ∴DH= CE 又DH∥AE，∠HDF=∠E ∠DFH=∠EFC（对顶角） ∴△ DFH≌△EFC（AAS） ∴DF=EF 四、补全图形 4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：延长AD、BC相交于F． 由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF． 易证△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD 又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90° ∴∠ABD=∠FAC ∵BD为∠ABC的平分线 ∴∠ABD=∠CBE ∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC ∴△ACF≌△BCE（ASA） ∴BE=AF=2a 五、利用角的平分线对称构造全等 5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD． 　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：在BC上截取BE=BA，连接DE． 由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD ∴AD=DE ∠A=∠BED 又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180° ∴∠DEC=∠C，∴DE=CD ∴AD=CD 七、图形变换 轴对称 1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞. 平移 2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE. 旋转 1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.