L16-17-能带论4.pptVIP

mx ?2 my 4z，mx，my，?1，?2 2z， mx，my 4z，mx，my，?1，?2 波矢群中的对称操作 2 CS 4 (?/a, k) Z轴 2 CS 4 (k, k) ?轴 2 CS 4 (k, 0) ?轴 8 C4V 1 (?/a, ?/a) M点 4 C2V 2 (?/a, 0) X点 8 C4V 1 (0, 0) ?点 波矢群阶数 ? 群 k星中等价k数 特殊位置 ? ? M X R Z S ? T ? 简单立方晶格Oh (m3m)点群： C3V (3m) (k, k, k) ?轴 C4V (4mm) (?/a, ?/a, k) T轴 C2V (mm2) (?/a, k, k) S轴 C2V (mm2) (k, k, 0) ?轴 C2V (mm2) (?/a, k, 0) Z轴 C4V (4mm) (k, 0, 0) ?轴 Oh (m3m) (?/a, ?/a, ?/a) R点 D4h (4/mmm) (?/a, ?/a, 0) M点 D4h (4/mmm) (?/a, 0, 0) X点 Oh (m3m) (0, 0, 0) ?点 ?群 特殊位置 * 上一讲回顾 1. 简并微扰 和 上一讲回顾 2. 克朗尼格-朋奈模型 0 c a U0 U(x) x b 1区 2区 3区 上一讲回顾 3. 平面波展开法定理 上一讲回顾 4. 紧束缚近似 波函数： 能带： 交叠积分： 例1：求简单立方晶体中由原子的s态所形成的能带 a a 由于s态的原子波函数是球对称的，有 对于简单立方： Rs＝(?a, 0, 0), (0, ?a, 0), (0, 0, ?a) 近邻格矢 能量的最高点和最低点？ 在简单立方晶格的简约区中 ?点：k＝(0, 0, 0) X点：k＝(?/a, 0, 0) R点：k＝(?/a, ?/a, ?/a) 由于s态波函数是偶宇称，?s(r)= ?s(-r)， 所以，在近邻重叠积分中波函数的贡献为正，即J1 0 。 ? M X R kx ky kz ?点：能带底；R点：能带顶 J0 ?s } 12J1 能带宽度： 原子的一个s能级在晶体中展宽为一个相应的能带，能 带宽度取决于J1，即近邻原子波函数的重叠积分。 原子的内层电子轨道半径较小，所形成的能带校窄； 而外层电子的轨道半径较大，所形成的能带较宽。 以上讨论仅适用于原子能级非简并，且原子波函数重叠 很少的情况，即适用于原子内层 s电子所形成的能带。 对于p电子、d电子等，这些状态都是简并的，因此，其Bloch函数应是孤立原子的有关状态波函数的线性组合。 例2：求简单立方晶体由原子的p态所形成的能带 原子的p态为三重简并，其原子轨道可表为 { 在简单立方晶体中，三个p轨道各自形成一个能带，其波函数是各自原子轨道的线性组合。 { 由于p轨道不是球对称的，因此，沿不同方向的近邻重叠积分J(Rs)不完全相同。如 ：电子主要集中在x轴方向，在六个近邻重叠积分中，沿x轴方向的重叠积分较大，用J1表示；沿y方向和z方向的重叠积分用J2表示。 ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － x y ? ? X s带 px带 py、pz带 E(k) 原子的p态是奇宇称： 沿x轴方向的重叠积分J1 0，而J2 0。 二、原子能级与能带的对应 对于原子的内层电子，其电子  轨道很小，因而形成的能带较 窄。这时，原子能级与能带之 间有简单的一一对应关系。 E 这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应，可能会出现能带的重叠。 对于外层电子，由于其电子轨 道较大，形成的能带就较宽。 在某些情况下还可能出现不同原子态的相互作用。如：Si的价带与导带。 紧束缚近似对原子的内层电子是相当好的近似，它还可用来近似地描述过渡金属的d带、类金刚石晶体以及惰性元素晶体的价带。紧束缚近似是定量计算绝缘体、化合物及半导体特性的有效工具。 3p 3s sp3 成键态 反键态 导带 价带 §4.6 晶体能带的对称性 一、 En(k)函数的对称性 晶体点群对称操作的算符T(?)，物理意义：对于任意函数f(r)，有 其中，?－1是?的逆操作，其定义为?－1 r点经?操作后变换到r点。晶体中电子运动的哈密顿量为： 能带的点群对称性 En(αk)=En(k) 将T(?)和H同时作用在任意函数f(r)上， ?2在正交变换下形式不变， 电子的势能函数U(r) 具有与晶格相同的对称性： 由于f(r)是任意函数，所以T(?)与H可对易 若?n,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T(?) ?n