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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)
理科数学
(试题及答案解析)
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合,,则中元素的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】表示圆上所有点的集合,表示直线上所有点的集合,
故表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即元素的个数为2,故选B.
2.设复数z满足,则()
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由题,,则,故选C.
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.
4.的展开式中的系数为()
A. B. C.40 D.80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得,原式展开中含的项为
,则的系数为40,故选C.
5.已知双曲线(,)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为,则①
又∵椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则②
由①②解得,则双曲线的方程为,故选B.
6.设函数,则下列结论错误的是()
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为 D.在单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到,
如图可知,在上先递减后递增,D选项错误,故选D.
7.执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为()
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示:
初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 2
第2次循环结束 90 1 3
此时首次满足条件,程序需在时跳出循环,即为满足条件的最小值,故选D.
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径,
则圆柱体体积,故选B.
9.等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为()
A. B. C.3 D.8
【答案】A
【解析】∵为等差数列,且成等比数列,设公差为.
则,即
又∵,代入上式可得
又∵,则
∴,故选A.
10.已知椭圆()的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵以为直径为圆与直线相切,∴圆心到直线距离等于半径,
∴
又∵,则上式可化简为
∵,可得,即
∴,故选A
11.已知函数有唯一零点,则()
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】由条件,,得:
∴,即为的对称轴,
由题意,有唯一零点,
∴的零点只能为,
即,
解得.
12.在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为()
A.3 B. C. D.2
【答案】A
【解析】由题意,画出右图.
设与切于点,连接.
以为原点,为轴正半轴,
为轴正半轴建立直角坐标系,
则点坐标为.
∵,.
∴.
∵切于点.
∴⊥.
∴是中斜边上的高.
即的半径为.
∵在上.
∴点的轨迹方程为.
设点坐标,可以设出点坐标满足的参数方程如下:
而,,.
∵
∴,.
两式相加得:
(其中,)
当且仅当,时,取得最大值3.
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若x,y满足约束条件则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题,画出可行域如图:
目标函数为,则直线纵截距越大,值越小.
由图可知:在处取最小值,故.
14.设等比数列满足,,则________.
【答案】
【解析】为等比数列,设公比为.
,即,
显然,,
得,即,代入式可得,
.
15.设函数则满足的x的取值范围是________.
【答案】
【解析】,,即
由图象变换可画出与的图象如下:
由图
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