2017第34届全国中学生物理竞赛复赛.pdf

第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 一、(40分)一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率: (1) 圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动; (2) 圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。 R 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 (1)如图，θ 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中 心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重 力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱 的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向( 向右 为正) 。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 F mg sin ma 式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。 R θ 由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过 的角度θ1 (规定小圆柱在最低点时θ1 = 0)与之间的关系为 θ1 d2 2 d  a  r 1  R r R r   2   2 1 dt dt 2 R r  2 d  1 2 d  考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 rF  J 1  mr dt 2 2 r dt 2 d2 2g 联立上述方程   0 sin  dt 2 3R r  1 g 可得小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动 f  6 R r 是简谐振动，其振动频率为   第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 2 1 2 d  (2) 用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，θ1 和 rF  mr  1 θ2 分别为小圆柱与圆筒转过的角度(规定小圆柱相对于大 2 dt 2 圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置