高数习题册答案解析1-1.doc

word 资料下载可编辑 专业技术资料 习题1.1A（P15）提示（仅供参考） 1．用定义（语言）证明： （1） 证明：，故对，欲使，只需，即。 故对，取（注意：不能写成，以下几个类似），当时有 故 （2） 证明：，故对，欲使，只需，即。 故对，取，当时有 故 （3） 证明：，故对，欲使，只需， 即。故对，取当时有 故 （4） 证明：，故对，欲使，只需， 即。故对，取当时有 故 （5） 证明：，故对，欲使，只需，即。 故对，取当时有 故 （注意：若用夹逼法：） （6） 证明：，注意到，故 ，，欲使，只需，即。 故对，取当时有 故 （注意：若用夹逼法：） 2．证明：的充分必要条件是对，只有的有限多项不在 中。 证明：（必要性）若，则，， 时有，故至多有项在不再中。 （充分性）对，只有的有限多项不在中，不妨设不在 中项为，取（即取不在 中项脚标的最大者，故当时有，即。 4.证明若，则。反之不一定，举例说明。但若，则有 证明：由 ，有对，，时有， 故对，取 时有，故。 反之不一定，例数列。 由，有对，，时有。 故对，取 时有，故 5：证明 设，，证明 5：证明 设，，证明 证明 若， 由 ，有对，，时有 故对，取 ，当时有 故 若，则由极限的保号性得。 由 ，有对，，时有 故对，取 ，当时有 故 6证明：若，有界，则 证明：有界，故可设 由，有对，，时有 故对，取 当时有，故。 7．若是否一定有或。 解：否。例， 8（1）设，均收敛，问是否必然收敛。 解：否，例。 （2）设，满足，则。 证明：由，则有对，，时有 ，则有对，，时有 故对，取（注意不能取，当时有，故。 （3）设，，收敛，这时能否保证一定收敛？ 解：能。不妨设，由有，故 即，故由8（2）一定收敛. 9证明：若单调数列有收敛子列，则 证明：不妨设是单调增的。设子列（也是单调增的）收敛于， 从而对，，时有 对，取，当时有，故 10.求极限 （1） 解 (2) 解 (3) 解： （公式 (4) 解： ， 故 （5） 解 由 ，有 （6） 解 由，有 （7） 解 11求下列极限（夹逼法） (1) 解 ，又，故 （2）见学习辅导“例12（2）” （3） 解 ，又 （4） 解， 又，故 12 设令都是非负实数，证 解：不妨设，则。 ， 故 13 求（必须先证明存在性再设），其中 （1）见学习辅导“例22 (2) , 解：有界性：，设，则 单调性：显然，设，则 求极限：设，由取极限得，解出 （3）见学习辅导“例25” （4）， 解 有界性： 单调性： ，若，则，否则 求极限：设，由得，故。 15 试判断数列的敛散性： （1），其中； 解 欲使，只需 故对，取，当时，对都有 即是基本列，故收敛。 （2） 证明: 故是单调增的。又 故也是有界的，故存在，设为。 ，故 由习题1.1（A）8(2)知道收敛。 （3） 证明:，对，取，则有 故不是基本列，则发散。 （4） 解 取，对，存在，且满足 故 从而 这说明不是基本列，故发散。 16 设，且，则 证明：对，由知使得当时， 故对，取，当时，故 17．求极限 （1） （2） (3) (4) 习题1.1（B） 1 O.Stolz公式 （1）设，且严格减。若，则 证明：（A）若，对，则存在使得当时，即 从而当时 ······ 把上式不等式相加的 其对成立 又，故当时由得当时有 故对，取，当时有 即 从而。 （B）若，则。由，故对，存在，当时有，即， 从而存在，当时有，即严格递减的， 故由可得，即 （C）若，令,利用（B）可证明。 （2）严格增，且，若，则 证明：（A）若，则， 令，即，故对，则存在使得当时 由得得（使用迭代） 即 两边除以，再同时减去得 故当时 又，则存在使得当时 对，取使得当时 故 （B）若，则。由，故对，存在，当时有，即 故严格增的，再由得，从而时，，从而由（A）得，故 （C）若，令,利用（B）可证明。 2设证明 （1） 证明 利用O.Stolz公式（2）只需令，，则 故。 或利用定义直接证明。 （2）讨论时(1)中的结论。 证明：利用O.Stolz公式可得，或均成立。 但，不成立，例，故时O.Stolz公式也不成立。 （3），其中 证明：，由保号性可得 故（当，时） 故， 故 （4），其中 证明：见附录参考答案及提示。 3 设，证明 证明：设，故利用习题1.1（B）2(4)可得 又，故，注意到，可得 4.设收敛，证明 证明：（微积分学习辅导P6例11（4）） 设，则有 5.若，证明 证明 令，，