2011-218高考数学导数分类汇编(理).docxVIP

PAGE PAGE 1 2011-2018新课标(理科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （1）求、的值； （2）如果当，且时，，求的取值范围。 【解析】 （1） 由于直线的斜率为，且过点， 故 即 解得，。 （2）由（1）知，所以 。 考虑函数，则。 (i)设，由知，当时，。而，故 当时，，可得； 当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0 从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+. （ii）设0k1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x0,故h’ （x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,与题设矛盾。 （iii）设k1.此时h’ （x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，0） 【2012新课标】21. 已知函数满足满足； （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值。 【解析】 （1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 = 1 \* GB3 ①当时，在上单调递增 时，与矛盾 = 2 \* GB3 ②当时， 得：当时， 令；则 当时，；当时，的最大值为 【2013新课标1】21. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2 （1）求a，b，c，d的值 （2）若x≥－2时, ，求k的取值范围。 【解析】 （1）由已知得， 而=，=，∴=4，=2，=2，=2； （2）由（1）知，，， 设函数==（）， ==， 有题设可得≥0，即， 令=0得，=，=－2， = 1 \* GB3 ①若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时， ＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值， 而==≥0， ∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立， = 2 \* GB3 ②若，则=， ∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0， ∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立， ③若，则==＜0， ∴当≥－2时，≤不可能恒成立， 综上所述，的取值范围为[1,] 【2013新课标2】21．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0. 【解析】 (1)f′(x)＝. 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1. 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝. 函数f′(x)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0. 因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． (2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0. 当m＝2时，函数f′(x)＝在(－2，＋∞)单调递增． 又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值． 由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0， 故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0. 综上，当m≤2时，f(x)＞0. 【2014新课标1】21．设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2． （ 1）求a、b；（ 2）证明：f（x）＞1． 【解析】 （1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=+， 由题意可得f（1）=2，f′（1）=e， 故a=1，b=2； （2）由（1）知，f（x）=exlnx+， 从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx， ∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0． 故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣． 设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）． ∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0， 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣． 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1． 【2014新课标2】21. 已知