椭圆的定义与几何性质试题库.doc

word 资料下载可编辑 PAGE 3 专业技术资料 椭圆的定义及几何性质 考点突破：圆锥曲线的定义及几何性质多以基础题为主，侧重基础知识的掌握和基本数学思想方法的灵活应用，难度不大。考查形式一是定义及基本性质为主的客观题，是容易题；二是以综合题的形式考查圆锥曲线的定义和性质，中档题。 预计2015考查椭圆、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质，双曲线的的标准方程技几何性质较大。复习中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同时注意运算中的减负如设而不求，活用定义，妙用平面的几何性质等，勇于联想、探索、大胆实践，提升解题能力。 题型一：椭圆的定义及其应用 1、判断轨迹： 例：已知是定点，动点M满足，且则点M的轨迹为（ ） A．椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 分析：紧扣椭圆的定义。 解：由题意得，且则 所以点M的轨迹为线段。 点评：求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变． (2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 变式： 1 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点．若，则 ． 【知识点】椭圆的定义 解：因为+4a=20，，所以=8. 【思路点拨】在圆锥曲线中，当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时，注意应用其定义建立等量关系进行解答. 2、利用定义 例：已知椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值为(　　)．A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(3,5) [审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求． B　[因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|＋|PF2|＝2 eq \r(6)，|PF1|－|PF2|＝2 eq \r(3). 设|PF1|＞|PF2|，解得|PF1|＝eq \r(6)＋eq \r(3)，|PF2|＝eq \r(6)－eq \r(3)， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(?\r(6)＋\r(3)?2＋?\r(6)－\r(3)?2－16,2?\r(6)＋\r(3)??\r(6)－\r(3)?)＝eq \f(1,3).] 方法锦囊： 涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离． 变式： 1、(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq \o(PF1,\s\up6(→))⊥eq \o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________. [审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用eq \o(PF1,\s\up6(→))⊥eq \o(PF2,\s\up6(→))，进而得解． 解析　由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，eq \o(PF1,\s\up6(→))⊥eq \o(PF2,\s\up6(→))， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝eq \f(1,2)×2b2＝b2＝9. ∴b＝3.答案　3 方法总结： 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． 2、 已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)．A．2eq \r(3) B．6C．4eq \r(3) D．12 解析　由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周长为4a＝4eq \r(3)(F是椭圆的另外一个焦点)．答案　C 3、已知F1，