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贝叶斯统计学
Bayesian Statistics
开课的话
历史悠久:R. T. Bayes(1701-1761)
P. C. Laplace(1749-1827)
争论不休:经典学派VS 贝叶斯学派
困难所在:模型复杂,计算量巨大
应用广泛:不但在统计本身而且在许多其它学科上
都有重要应用
欣欣向荣:电子计算机;算法;近二十多年来大发展
课堂纪律:有病有事一律向系里请假,而不是向我
请假。有系里批准的假条给我,我都没异议。每次
上课都点名,出勤率关系到你的成绩。
学习态度:强烈的求知(非求职)欲望。
作业:每次作业都有登记评分,另有贝叶斯统计英
译中作业(12月31 日完成上交。期末考试将有英
语题)。
问与答:没有愚蠢的问题,只有愚蠢的回答。任何
问题都可向我提出,我会尽自己的能力,回答你们
的问题。如果没有提问,则认定你已经懂了所教内
容。
第一章先验分布与后验分布
1.1 三种信息
一、 总体信息,即总体分布或总体所属分布族给我们的信息,譬如,“总体是
正态分布”这一句话就给我们带来很多信息:它的密度函数是一条钟形曲线;它
的一切阶矩都存在;有关正态变量(服从正态分布的随机变量)的一些事件的概
2
率可以计算;有关正态分布可以导出 分布、t 分布和F 分布等重要分布;还
有许多成熟的点估计、区间估计和假设检验方法可供我们选用。总体信息是很
重要的信息,为了获取此种信息往往耗资巨大。
二、样本信息,即从总体抽取的样本给我们
提供的信息。这是最“新鲜”的信息,并
且愈多愈好。人们希望通过对样本的加工
和处理对总体的某些特征做出较为精确的
统计推断。没有样本就没有统计学可言。
这是大家都理解的事实。
基于上述两种信息进行的统计推断被称为
经典统计学,它的基本观点是把数据(样
本)看成是来自具有一定概率分布的总体,
所研究的对象是这个总体而不局限于数据
本身。
三、先验信息,即在抽样之前有关统计问题的一些
信息,一般说来,先验信息主要来源于经验和历
史资料。先验信息在日常生活和工作中也经常可
见,不少人在自觉地或不自觉地使用它。看下面
二个例子。
例1.1 英国统计学家Savage(1961) 曾考察如下二个
统计实验:
A .一位常饮牛奶的妇女声称,她能辨别先倒进
杯子里的是茶还是牛奶。对此做了十次试验,她
都正确地说出了。
B.一位音乐家声称,他能从一页乐谱辨别出是
海邓(Haydn)还是莫扎特(Mozart)的作品。
在十次这样的试验中,他都能正确辨别。
在这两个统计试验中,假如认为被实验者
是在猜测,每次成功的概率为0.5,那么十
次都猜中的概率为210 0.0009766 ,这是一
个很小的概率,是几乎不可能发生的,所
以“每次成功概率为0.5”的假设应被拒绝。
被实验者每次成功概率要比0.5大得多。这
就不是猜测,而是他们的经验在帮他们的
忙。可见经验(先验信息的一种)在推断
中不可忽视,应加以利用。
例1.2 “免检产品”是怎样决定的?某厂的产品每天都要抽检几件,获得
不合格率 的估计。经过一段时间后就积累大量的资料,根据这些历史资料
(先验信息的一种)对过去产品的不合格率可构造一个分布:
i
P ( ) , i 0,1,„ n
i
n
这个对先验信息进行加工获得的分布今后称为先验分布。这个先验分布是
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