数值分析试题与答案解析.doc

word 资料下载可编辑 PAGE 1 专业技术资料 数值分析试题 填空题（2 0×2′） 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2 位有效数字。 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 设，‖A‖∞＝___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____， ‖AX‖∞≤_15_ __。 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足 |?’(x)| 1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是： 1 ；所以当系数ai(x)满足 ai(x)1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 ?(B)1 。 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)||f(xn)| 。 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii ，(i=0,1,…,n)。 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)0 。 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。 判断题（10×1′） 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × ) 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( ? ) 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 样条插值一种分段插值。 ( ? ) 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ? ) 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 　　( ? ) 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( × ) 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( × ) 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( ? ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × ) 计算题（5×10′） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。 解答： （1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行： L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为： （-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行： L32=-0.2/2.6=-0.0769