高数下册各章总复习题与答案解析.doc

word 资料下载可编辑 专业技术资料 第八章 多元函数微分法及其应用 8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内： （1）在点可微分是在该点连续的充 分条件；在点连续是在该点可微分的必 要条件。 （2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的必 要条件；在点可微分是函数在该点的偏导数及存的充 分条件。 （3）的偏导数及点存在且连续是在该点可微分的充 分条件。 （4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充 分条件。 8.02求函数的定义域，并求。 解：1)，定义域： 2)由初等函数的连续性知： 8.03 证明极限不存在。 证明：当点沿用趋于点时，有 ，显然它是随着的不同而改变的， 故：极限不存在。 8.04 设 求 及 解：1) 当时， 当时， ，故： ，故： 于是： 8.05求下列函数的一阶和二阶导数： （1）； 解： ， （2）. 解： 8.06 求函数当时的全增量和全微分。 解：1) ， 8.07设；证明：在点0处连续且偏导数存在，但不可微分. 证明：1) ，于是： 即： ; 即： 在点连续 , 即：在处的偏导数存在，且 3) 假设在点处可微，则有： 又 书中18页已证明：不存在，故(*)式在时极限不存在， 即：不能表示为的高阶无穷小， 于是，在处不可微分。 8.08设，而都是可微函数，求. 解： 8.09设具有连续偏导数，而；求。 解： 8.10设，其中具有连续的二阶偏导数，求. 解： 8.11设.试求和. 解：将两边同时对,y求偏导数 将两边同时对,求偏导数 联立式得： 于是: 8.12求螺旋线在点处的切线法平面方程. 解： 切线方程：，即： 法平面方程：，即： 8.13 在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线的方程. 解：曲面在点处的法线向量为： 平面的法向量为： 当∥时,曲面在点处的法线垂直于平面,此时, , , 于是,点即为所求, 此时,所求法线方程为: 8.13 设x 轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数。并分别确定转角，使这导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。 解：, 于是,函数在点沿方向的方向导数为: 当时,有最大值;时,有最小值;或时,. 8.15求函数在椭球面上点处沿外法线的方向导数. 解: 椭球面上点处的法线向量为: , 其方向余弦为: , , 于是,函数在点处沿的方向导数为: (因在椭圆球面上) 8.16求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点. 解：平面与柱面的交线到面上的最短距离为函数的条件下的最小值 ,作函数： 令: 解得条件驻点,最小值。 于是点即为所求。 8.17 在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。 解：设为椭球面上在第一象限内的点。 椭球面在处的法向量为： 切平面为： 即： 切平面在三个坐标轴上的截距分别为，，，该四面体体积为： 又因点在椭球面上 , 当且仅当时等号成立。 于是： （当时等号成立）。 于是：, 当时等号成立。 故当平面的切点为时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为。 第九章 重积分 9.01计算下列二重积分： （1），其中D是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域； y=x+121Dxx y=x+1 2 1 D x x 0 1 y=sinx01x(2) 其中D是闭区域： y=sinx 0 1 x D解： D x2+y2=Rx0 x2+y2=Rx 0 R x y D解： D （4） ，其中D是闭区域： 解：区域D: 9.02 交换下