数学说题稿.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 说 题 稿 问题出处：2011年高考数学辽宁理科第21题 已知函数． （I）讨论的单调性； （II）设，证明：当时，； （III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明： ． 说题目立意 （1）考查求导公式（包括形如的复合函数求导）及导数运算法则； （2）考查对数的运算性质； （3）导数法判断函数的单调性； （4）考查用构造函数的方法证明不等式； （5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。 说解法 （Ⅰ）解：的定义域为， （解决函数问题，定义域优先的原则） （常见函数的导数公式及导数的四则运算） （ⅰ）若则，所以在单调递增； （ⅱ）若则由得， 当时，，当时，（导数法研究函数单调性，涉及分类讨论的思想） 单调递增，在单调递减. 综上，当时，在单调递增； 当时，单调递增，在单调递减. 归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二： （II）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。 解析：方法一：构建以为主元的函数 设函数 （构造函数体现划归的思想） 则，（这是本题的难点，很多学生不知要吧朝何方象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需掌握型。） （型的复合函数求导） 当. 故当， 方法二：构建以为主元的函数 设函数，则 由，解得 当时，，而，所以 故当， 归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。 （Ⅲ）分析：判断的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定与的大小关系，又可等效成判断与的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定与的大小关系，结合（Ⅰ）中单调性，问题迎刃而解。 解：由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为 不妨设 （结合图象分析更方便） 由（II）得 （注意前后两问的衔接） 又在单调递减 所以 （利用函数性质脱掉函数符号） 由（I）知， 法二：解法分析:若该问没有其所在题的第2问的铺设,如何给出更一般的证明? 一般证明如下: 首先a≤0时,f(x)在(0,+∞)单减,不符合f(x)有两个零点的条件,故a0 设f(x)的两个零点为x1,x2,且0x1x2,x1+x2=2x0 联立 eq \b\lc\{(\a\al(lnx1–ax12+(2–a)x1=0,lnx2–ax22+(2–a)x2=0))作差(两边同除以x1–x2)?a(x1+x2)+a–2= eq \f(lnx1–lnx2,x1–x2)?2ax0+a–2= eq \f(lnx1–lnx2,x1–x2) ?f ′(x0)= eq \f(1,x0)–2ax0–a+2= eq \f(1,x0)– eq \f(lnx1–lnx2,x1–x2)= eq \f(2,x1+x2)– eq \f(lnx1–lnx2,x1–x2)= eq \f(2,x1–x2)( eq \f(x1–x2,x1+x2)– eq \f(1,2)ln eq \f(x1,x2))= (0x1x2) 记函数F(x)= (0x1),单调分析,容易证明F(x)0,问题得证. 归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。 说数学思想方法 数学思想：（1）分类讨论思想 （2）转化划归思想 （3）数形结合思想 数学方法 ：（1）导数法确定函数单调性 （2）构造函数法证明不等式 说试题背景来源 我认为，2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处：一方面来源于09、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与09、10年辽宁理科21题对比分析： 2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。 首先从题干上分析： 09年辽宁省理科21题题干： 10年辽宁省理科21题题干： 11年辽宁省理科21题题干： 这三年都以型出现，其中为对数的形式，为二次函数型。略有不同的的是参数出现的位置稍有