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PAGE \* MERGEFORMAT 12 《不等式》专题复习 知识回顾 一．不等式的主要性质： (1)对称性：　　　　　　　 (2)传递性： (3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则： (同向同正可乘) (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小： 作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 二．解不等式 1.一元二次不等式的解集： 2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过； （3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。 3、分式不等式的解法（转化为常规不等式） 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理 4、不等式的恒成立问题： 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 三、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件 ②线性目标函数 ③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解： 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 四．均值不等式 1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2．如果a,b是正数，那么 变形： ① a+b≥； ②ab≤, 当且仅当a=b时取等号. 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 3.常用不等式有： （1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）； （3）若，则（糖水的浓度问题）。 典例剖析 题型一：不等式的性质 对于实数中，给出下列命题： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，则。 其中正确的命题是______ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 设，，，试比较的大小 比较1+与的大小 若，则的大小关系是 . 题型三：解不等式 解不等式 解不等式。 解不等式 不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______ 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______ 解关于x的不等式 题型四：恒成立问题 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________ 若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 三．基本不等式 题型五：求最值 （直接用注正数）求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ eq \f(1,2x 2) （2）y＝x＋ eq \f(1,x) （配凑项） （1）已知，求函数的最大值。 （2）当时，求的最大值。 求的值域。 注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数的单调性。 求函数的值域。 （条件不等式） 若实数满足，则的最小值是 . 已知，且，求的最小值。 已知x，y为正实数，且x 2＋ eq \f(y 2,2) ＝1，求x eq \r(1＋y 2) 的最大值. 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ eq \f(1,ab) 的最小值. 题型六：利用基本不等式证明不等式 19、已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 16．（12分）设a0, b0，且a + b = 1，求证：． 题型七：均值定理实际应用问题： 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 四.线性规划