【天津市2013届高三数学总复习之模块专题：25-超越函数综合题(教师版)-].docVIP

PAGE 超越函数综合题 1、讨论函数在区间上的单调性。 解：设=， 于是当当 故当，函数在上是增函数； 当，函数在为减函数。 2、设函数成立的取值范围。 解：由于是增函数，等价于① （1）当时，，①式恒成立； （2）当时，，①式化为，即； （3）当时，，①式无解； 综上，的取值范围是。 3、设关于的方程的两根为，函数。 （1）求的值； （2）证明是上的增函数； （3）试确定为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小。 解：（1） （2）定义法；略 （3）函数在上最大值，最小值， 当且仅当时，取最小值4，此时 4、已知函数为常数）。 （1）求函数的定义域； （2）若，试根据单调性定义确定函数的单调性； （3）若函数是增函数，求的取值范围。 解：（1）由 ∵ ∴的定义域是。 （2）若，则设，则 故为增函数。 （3）设 ① ∵是增函数，∴ ②联立①、②知，∴。 5、已知函数，且函数的图象关于直线对称，又 。 （1）求的值域； （2）是否存在实数，使命题和满足复合命题 为真命题？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。 解：（1）由，于是， 由，此函数在是单调减函数，从而的值域为； （2）假定存在的实数满足题设，即和都成立 又，∴，∴， 由的值域为，则的定义域为，已证在上是减函数，则在 也是减函数，由减函数的定义得解得，且≠，因此存在 实数使得命题：且为真命题，且的取值范围为。 6、已知函数是偶函数。 （1）求的值； （2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取 值范围。 解：（1）由函数是偶函数可知：， 即对一切恒成立，； （2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程 有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根； 令，则方程有且只有一个正根，①，不合题意； ②或，若，不合题意；若；③一个正根与一 个负根，即；综上：实数的取值范围是。 7、已知函数。 （1）求证：函数在内单调递增； （2）若，且关于的方程在上有解，求的取值范围。 解：（1）证明：任取，则， ，， ，即函数在内单调递增。 （2）解法1：由得 ， 当时，， 的取值范围是。 解法2：解方程，得， ，解得 ， 的取值范围是。 8、已知函数是奇函数。 （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并给出证明； （3）当时，函数的值域是，求实数与的值； （4）设函数，当时，存在最大实数，使得 时，不等式恒成立，试确定与之间的关系。 解：（1）。 （2）由（1）及题设知：，设， 当时，， 当时，，即； 当时，在上是减函数；同理当时，在上是增函数； （3）由题设知：函数的定义域为， ①当时，有，由（1）及（2）题设知：在为增函数，由其值域为知，无解； ②当时，有，由（1、2）题设知：在为减函数，由其值域为知，，得，； （4）由（1）题设知：， 则函数的对称轴，∴，函数在上单调减，，是最大实数使得，恒有成立， ，即。 9、已知函数为偶函数，且 （1）求的值，并确定的解析式； （2）若，在上为增函数，求实数的取值范围。 解：（1）由 ，又 当为奇函数，不合题意，舍去； 当为偶函数，满足题设，故。 （2）令，若在其定义域内单调递减，要使上单调递增，则需上递减，且， ，即，若在其定义域内单调递增，要使 上单调递增，则需上递增，且，，即； 综上所述，实数的取值范围是。 10、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数，①对任意的，总有；②当时，总有成立；已知函数与是定义在上的函数。 （1）试问函数是否为函数？并说明理由； （2）若函数是函数，求实数组成的集合。 解：（1）当时，总有，满足①， 当时，，满足②； （2）为增函数，； 由，得，即；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 因为，所以，，与不同时等于1 ， 当时，，综合，。 11、已知函数。 （1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式； （2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式； （3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。 解：（1） （2）设的图象上一点，点关于的对称点为， 由点在的图象上，所以， 于是即 （3）； 设，则； 问题转化为：，对恒成立， 即：，对恒成立。（*） 故必有（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立），此时，由于二次函数的对称轴方程为， 所以，问题等价于，即，解之得：； 此时，，故在取得最小值满足条件。 点评：紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力。 12、对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有