二次函数的图象和性质-培优教案.docVIP

PAGE PAGE 3 二次函数的图象和性质（培优教案） 一．课前训练 1．已知抛物线上一部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示，则下列说法中正确的是 。（填写序号） … －2 －1 0 1 2 … … 0 4 6 6 4 … yxO①抛物线与轴的一个交点为 y x O ②函数的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴的左侧，随的增大而增大。 2．若二次函数的图象如图所示， 则下列结论中正确的个数是( ) ①；②；③；④。 A.1 B.2 C.3 D.4 二．知识结构 三．题型讲练 例1．已知抛物线。 ⑴写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标； ⑵当为何值时，抛物线的顶点在轴上方； ⑶过抛物线与轴的交点作直线轴，交抛物线于另一点，当时，求此抛物线的解析式。 分析：⑴考察配方法；⑵欲使抛物线顶点在轴上方，必使顶点纵坐标为正；⑶由直线轴可知两点的纵坐标相等，进而可以求出值。 【解】⑴∵在中，二次项系数，∴开口向上， ∵ ∴对称轴是直线，顶点坐标为。 ⑵∵欲使抛物线的顶点在轴上方，必使顶点的纵坐标为正数， ∴令，则，此时抛物线的顶点在轴上方 ⑶令，则，∴抛物线与轴交于点 ∵直线轴，∴。 令，则，解得，，∴ ∴在中，，， ∵，∴，∴ ∴抛物线的解析式为或。 练习： 1．右图是二次函数在平面直角坐标系中 的图象，则下列结论中正确的是（填写序号） 。 ①；②；③；④ 2．若抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标为 。 3．如图，抛物线经过点，与轴交于两点。 ⑴求的值； ⑵如图①，设点为该抛物线在轴上方的一点，若直线将四边形的面积二等分，试证明线段被直线平分并求此时直线的函数解析式； ⑶设点是该抛物线在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点使得？若存在，请举例验证你的猜想；若不存在，请说明理由。（图②供选用） 【解】⑴∵抛物线经过点，∴，∴。 ⑵作于点，作于点，设与交于点 ∵直线将四边形的面积二等分， ∴，即，∴ ∵，， ∴，∴，∴线段被直线平分 ∵由⑴知，∴抛物线的解析式为 ∴令，则，∴，，∴ ∵，∴点是线段的中点， ∴，，∴ 设直线的解析式为， ∵直线经过点和点 ∴，∴直线的解析式为 ⑶存在。设抛物线的顶点为， ∵在中， ∴以点为圆心、为半径作圆，与抛物线在轴的上方一定有交点（即点），连接，再作的平分线，交抛物线于点，连接，此时由得。 例2．已知抛物线与轴交于 两点，其中且，与轴交于点。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵能否找到直线与抛物线交于两点且使轴恰好平分的面积？若能，求出满足的条件；若不能，说明理由。 【解】⑴令，则有， ∵ ∴对于一切实数，抛物线与轴恒有两个交点， ∵由根与系数的关系得…①，…② ∴把①代入得…③， 把③代入得…④， 把③、④代入得 化简整理得，解得，。 当时，，与相符； 当时，，与不符(舍去) ∴抛物线的解析式为。 ⑵能，理由如下（如图）： 假设符合题意的直线与轴交于点， ∵，即，∴ ∵由题意知两点必在轴的两侧，∴，即 ∵由得……（*） ∴一定是方程(*)的两根，∴，∴ ∵直线与抛物线有两个交点 ∴，即，解得 ∴且为所求。 练习： 1．已知抛物线与轴分别交于两点(其中)，则下列结论中正确的是 （只需填写序号）。 ①当时，；②当时，；③方程 有两个不相等的实数根；④，；⑤。 2．已知直线与轴交于点，与轴交于点；另一条抛物线的解析式为。 ⑴若该抛物线经过点且抛物线的顶点在直线上，试确定抛物线的解析式； ⑵过点作直线，交轴于点，若抛物线的对称轴经过点，试确定直线的解析式。 例3．如图，直线与抛物线交于点和点（点在轴上），点是抛物线的顶点。 ⑴求的值及抛物线的解析式； ⑵过线段上的动点（与不重合）作轴的垂线，与抛物线交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； ⑶设点是直线与抛物线对称轴的交点，则在线段上是否存在一点使得四边形是平行四边形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由。 【解】⑴∵点在直线上 ∴，∴，∴有直线 ∵点是抛物线的顶点 ∴设所求抛物线的解析式为 ∵点在抛物线上 ∴，∴，∴所求抛物线的解析式为 ⑵设两点的纵坐标分别为和，则： （其中） ⑶存在，理由如下： ∵，∴欲使四边形是平行四边形，必使 ∵点在直线上且，∴令，则 ∴，∴，∴ ∴令，即，解得(不合题意，舍去)， ∵点在直线上，∴令，则，∴ ∴当点的坐标为时，四边形是平行四边形。 练习： 1．已知抛物线。 ⑴若抛物线与轴的交点分别