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运筹学 北京电大学.ch1-7

§1.7 计算公式 Calculate Formula Ch1 Linear Programming Page * of 13 设有线性规划 其中Am×n且r(A)=m, X≥0应理解为X大于等于零向量,即xj≥0,j=1,2…,n。 不妨假设A=(P1,P2,…,Pn)中前m个列向量构成一个可行基,记为B=(P1,P2,…,Pm)。矩阵A中后n-m列构成的矩阵记为N=(Pm+1,…Pn),则A可以写成分块矩阵A=(B,N)。对于基B,基变量为xB=(x1,x2,…,xm )T, 非基变量为xN=(xm+1,xm+2,…xn)T. 则X可表示成 同理将C写成分块矩阵C=(CB,CN),CB=(c1,c2,…,cn), CN=(Cm+1Cm+2,…,cn) 则AX=b可写成 因为r(B)=m(或|B|≠0)所以B —1存在,因此可有 令非基变量XN=0,XB=B—1b,由 B是 可行基的假设,则得到基本可行解 X=(B-1b,0)T 将目标函数写成 得到下列五个计算公式: (令XN=0) 上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到, 设初始矩阵单纯形表为 ? XB XN b XB B N b ? CB CN 0 将B化为I(I为m阶单位矩阵),CB化为零,即求基本可行解和检验数.用B-1左乘表中第二行,得到下表 ? XB XN b XB I B-1N B-1b ? CB CN 0 ? 再将第二行左乘-CB后加到第三行,得到 ? XB XN b XB I B-1N B-1b λ 0 CN-CBB-1N -CBB-1b N λΝ XB -Z0 五个公式的应用 【例1.17】线性规划 已知可行基 求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3; (4)B1是否是最优基,为什么; (5)当可行基为 时求λ1及λ3. 【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2为基变量,x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为 CB=(c1,c2)=(1,2) CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0) 故单纯形乘子 (2)基变量的解为 故基本可行解为 目标函数值为 (3) 求λ3

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