和三角形有关的角.doc

word 资料下载可编辑 专业技术资料 第2讲 与三角形有关的角 一、知识重点 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法： (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点 三角形内角和定理的理解　三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】 填空： (1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 (　　)． A．43° B．47° C．30° D．60° . 答案：B (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形． 【例2－2】 如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． ． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角． (2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带． ②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示． 破疑点 三角形外角的理解　外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意． 【例3】 在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________. 4.三角形外角性质 (1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)． 注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和. (2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数； ②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等． 析规律 三角形外角的性质的理解　①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形． 【例4】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________. 5．三角形外角和 (1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和． (2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°. 注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和． 【例5】 如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°. 点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据． 6.三角形内角和定理应用 三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面： (1)已知两角求第三角 这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系． (2)已知三角的比例关系求各角 这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180°列方程求解，然后再求出每一个角的度数．有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比