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定义新运算
我们学过的常用运算有:+、-、×、÷等.
如:2+3=5
2×3=6
都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“+”,“-”,“×”,“÷”运算不相同.
我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
例1、设a、b都表示数,规定a△b=3×a-2×b,
①求 3△2, 2△3;
②这个运算“△”有交换律吗?
③求(17△6)△2,17△(6△2);
④这个运算“△”有结合律吗?
⑤如果已知4△b=2,求b.
分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.
解:① 3△2=3×3-2×2=9-4=5
2△3=3×2-2×3=6-6=0.
②由①的例子可知“△”没有交换律.
③要计算(17△6)△2,先计算括号内的数,有:17△6=3×17-2×6=39;再计算
第二步39△2=3 × 39-2×2=113,
所以(17△6)△2=113.
对于17△(6△2),同样先计算括号内的数,6△2=3×6-2×2=14,
其次17△14=3×17-2×14=23,
所以17△(6△2)=23.
④由③的例子可知“△”也没有结合律.
⑤因为4△b=3×4-2×b=12-2b,那么12-2b=2,解出b=5.
例2、定义运算※为 a※b=a×b-(a+b),
①求5※7,7※5; ②求12※(3※4),(12※3)※4;
③这个运算“※”有交换律、结合律吗? ④如果3※(5※x)=3,求x.
解:① 5※7=5×7-(5+7)=35-12=23,7※ 5=7×5-(7+5)=35-12=23.
②要计算12※(3※4),先计算括号内的数,有:3※4=3×4-(3+4)=5,再计算第二步12※5=12×5-(12+5)=43,
所以 12※(3※4)=43.
对于(12※3)※4,同样先计算括号内的数,12※3=12×3-(12+3)=21,
其次21※4=21×4-(21+4)=59,所以(12※ 3)※4=59.
③由于a※b=a×b-(a+b);
b※a=b×a-(b+a)
=a×b-(a+b)(普通加法、乘法交换律)
所以有a※b=b※a,因此“※”有交换律.
由②的例子可知,运算“※”没有结合律.
④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
3※(5※x)=3※(4x-5)
=3(4x-5)-(3+4x-5)
=12x-15-(4x-2)
= 8x- 13
那么 8x-13=3 解出x=2.
例3、定义新的运算a ? b=a×b+a+b.
①求6 ? 2,2 ? 6;
②求(1 ? 2)? 3,1 ?(2 ? 3);
③这个运算有交换律和结合律吗?
解:① 6 ? 2=6×2+6+2=20,2 ? 6=2×6+2+6=20.
②(1 ? 2)? 3=(1×2+1+2)? 3
=5 ? 3
=5×3+5+3
=23
1 ?(2 ? 3)=1 ?(2×3+2+3)
=1 ? 11
=1×11+1+11
=23.
③先看“?”是否满足交换律:
a ? b=a×b+a+b
b ? a=b×a+b+a=a×b+a+b(普通加法与乘法的交换律)
所以a ? b=b ? a,因此“?”满足交换律.
再看“?”是否满足结合律:
(a ? b)? c=(a×b+a+b)? c
=(a×b+a+b)×c+a×b+a+b+c
=abc+ac+bc+ab+a+b+c.
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