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导数应用——“恒成立问题”练习
1. 已知函数.
(I)求函数的单调递减区间;
(II)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(III)过点作函数图像的切线,求切线方程
解(Ⅰ)得
函数的单调递减区间是;
(Ⅱ)即
设则
当时,函数单调递减;
当时,函数单调递增;
最小值实数的取值范围是;
(Ⅲ)设切点则即
设,当时是单调递增函数
最多只有一个根,又
切线方程为
2.(1)求函数在点处处的切线方程;
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知.若存在,使得,求实数的取值范围。
解:(1)
(2)法一:原问题等价于对恒成立,即
令,由得
所以,即。
法二:原问题等价于函数的图像恒在函数的图像的下方,临界情况是与相切。
设函数的切点为,则,所以,又切点在,所以,所以,则。
所以,对恒成立时,。
(3)原问题等价于: 存在,使得,则只需
,即。
由得,
,则。
由得
所以,。
,
所以得,即
即的范围是。
(注意:,用了第(2)问结论)
3.已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)
(1)求的解析式;
(2)设,求证:当时,且,恒成立;
(3)是否存在实数a,使得当时,的最小值是3 ?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由。
解:(1)设,则,所以又因为是定义在上的奇函数,所以
故函数的解析式为
(2)证明:当且时,,设 因为,所以当时,,此时单调递减;当时,,此时单调递增,所以 又因为,所以当时,,此时单调递减,所以
所以当时,即
(3)解:假设存在实数,使得当时,有最小值是3,
则
(ⅰ)当,时,.在区间上单调递增,[来源:学,不满足最小值是3
(ⅱ)当,时,,在区间上单调递增,
,也不满足最小值是3
(ⅲ)当,由于,则,故函数 是上的增函数.所以,解得(舍去)
(ⅳ)当时,则当时,,此时函数是减函数;当时,,此时函数是增函数.
所以,解得
综上可知,存在实数,使得当时,有最小值3
4.已知函数,
求实数b的值;
(2)在上恒成立,求实数的取值范围
解:(Ⅰ)由得,,
,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,, 又,,
∴,
即在上恒成立,
设,,,∴.
在上是增函数,在上是减函数,
,∴.
故实数的取值范围是.
5.设函数
(1)求函数的极值点;
(2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围。
解:(1)∵ ,∴的定义域为
,当时,,在 上无极值点.
当,令、随的变化情况如下表:
x
+
0
-
递增
极大值
递减
从上表可以看出:当p0时,f(x)有唯一极大值点.
(2)由(1)可知,当p0时,f(x)在处取极大值,此极大值也是最大值。要使f(x)0恒成立,只需0.解得p,故p的取值范围为。
6.已知函数.
(1)当时,函数的图像在点处的切线方程;
(2)当时,解不等式;
(3)当时,对,直线的图像下方.求整数 的最大值.
解:(1),当时.切线
(2)
(3)当时,直线的图像下方,得
问题等价于对任意恒成立.
当时,令,
令,,
故在上是增函数
由于
所以存在,使得.
则;,
即;
知在递减,递增
又 ,,所以=3.
7.已知函数=,其中a0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间上,恒成立,求a的取值范围。
解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=,f(2)=3;f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(Ⅱ)f’(x)=.令f’(x)=0,解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论:
若,当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-5a5.因此.
若a2,则.当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
当时,f(x)0等价于即
解不等式组得或.因此2a5.
综合(1)和(2),可知a的取值范围为0a5.
8.已知,函数.
(I)若,求函数的极值点;
(II)若不等式恒成立,求的取值范围.
解:(I)若,则,.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减. 又因为,,所以
当时,;当时,;
当时,;当时,.
故的极小值点为1和,极大值点为.
(II)不等式,整理为.(*)
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