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一元二次方程根的分布
一.一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程()的两个实根为,,且。
【定理1】,(两个正根),
推论:,或
上述推论结合二次函数图象不难得到。
若一元二次方程有两个正根,求的取值范围。
分析:依题意有01。
【定理2】,,
推论:,或
由二次函数图象易知它的正确性。
若一元二次方程的两根都是负数,求的取值范围。(或k3)
【定理3】
在何范围内取值,一元二次方程有一个正根和一个负根?
分析:依题意有0=03
【定理4】 eq \o\ac(○,1),且;
eq \o\ac(○,2),且。
若一元二次方程有一根为零,则另一根是正根还是负根?
分析:由已知-3=0,∴=3,代入原方程得3+5=0,另一根为负。
二.一元二次方程的非零分布——分布
设一元二次方程()的两实根为,,且。为常数。则一元二次方程根的分布(即,相对于的位置)有以下若干定理。
【定理1】
【定理2】。
【定理3】。
推论1 。
推论2 。
【定理4】有且仅有(或)
【定理5】或
此定理可直接由定理4推出,请读者自证。
【定理6】或
三、例题与练习
已知方程的两实根都大于1,求的取值范围。()
(2)若一元二次方程的两个实根都大于-1,求的取值范围。 ()
(3)若一元二次方程的两实根都小于2,求的取值范围。 ()
已知方程有一根大于2,另一根比2小,求的取值范围。 ()
(2)已知方程有一实根在0和1之间,求的取值范围。 ()
(3)已知方程的较大实根在0和1之间,求实数的取值范围。 变
式:改为较小实根 (不可能;)
(4)若方程的两实根均在区间(、1)内,求的取值范围。 ()
(5)若方程的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求的取值范围。 ()
(6)已知关于的方程的两根为且满足,求的取值范围。 (或)
已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.
本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制.
解:(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得
∴.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
(这里0-m1是因为对称轴x=-m应在区间(0,1)内通过)
练习:
若方程有两个不相同的实根,求的取值范围。
提示:令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根。答案:01
若关于的方程有唯一的实根,求实数的取值范围。
提示:原方程等价于即
令=+12+6+3
若抛物线=与轴相切,有△=144-4(6+3)=0即=。
O-20-6将=代入式②有=-6不满足式①,∴≠。
O
-20
-6
若抛物线=与轴相交,注意到其对称轴为=-6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是
解得。
∴当时原方程有唯一解。
另法:原方程等价于+20=8-6-3(-20或0)……③
O-20-61633问题转化为:求实数的取值范围,使直线=8-6-3与抛物线=+20(-20或0)有且只有一个公共点。
O
-20
-6
163
3
虽然两个函数图像都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显,可将③变形为+12+3=-6(-20或0),再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=-6,如图,显然当3-6≤163即时直线=-6与抛物线有且只有一个公共点。
已知=(-)(-)-2(),并且,是方程=0的两根(),则实数,,、的大小关系是( )
A、 B、 C、 D、
方程==0(0)的两个根都大于1的充要条件是( )
△≥0且(1)0
(1)0且-2
△≥0且-2,1
△≥0且(1)0,-2。
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