复变函数习题解答(第3章).docVIP

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2018-10-18 发布于河北
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复变函数习题解答(第3章)

PAGE PAGE 1 p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C 1/(z + 2) dz之值证明?[0, ?] (1 + 2 cos?)/(5 + 4cos?) d? = 0，其中C取单位圆周| z | = 1．【解】因为1/(z + 2)在圆| z | 3/2内解析，故?C 1/(z + 2) dz = 0．设C : z(?) = e i?，??[0, 2?]．则?C 1/(z + 2) dz = ?C 1/(z + 2) dz = ?[0, 2?] i e i?/(e i? + 2) d? = ?[0, 2?] i (cos? + i sin?)/(cos? + i sin? + 2) d? = ?[0, 2?] (? 2 sin? + i (1 + 2cos? ))/(5 + 4cos?) d? = ?[0, 2?] (? 2 sin?)/(5 + 4cos?) d? + i ?[0, 2?] (1 + 2cos? )/(5 + 4cos?) d?．所以?[0, 2?] (1 + 2cos? )/(5 + 4cos?) d? = 0．因(1 + 2cos? ))/(5 + 4cos?)以2?为周期，故?[??, ?] (1 + 2cos? )/(5 + 4cos?) d? = 0；因(1 + 2cos? ))/(5 + 4cos?)为偶函数，故 ?[0, ?] (1 + 2 cos?)/(5 + 4cos?) d? = (1/2) ?[??, ?] (1 + 2cos? )/(5 + 4cos?) d? = 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，?, ?是D内两点，试证 ?[?, ?] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[?, ?] ? ?[?, ?] g(z) f’(z)dz．【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[?, ?] f(z)g’(z)dz + ?[?, ?] g(z) f’(z)dz = ?[?, ?] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[?, ?] ( f(z)g(z))’ dz．而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[?, ?] ( f(z)g(z))’ dz = f(?)g(?) ? f(?)g(?) = ( f(z)g(z))|[?, ?]．因此有?[?, ?] f(z)g’(z)dz + ?[?, ?] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[?, ?]，即?[?, ?] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[?, ?] ? ?[?, ?] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (? ? t ? ?)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ? 0，w = f(z)将曲线C映成曲线?，求证? 亦为光滑曲线．【解】分两种情况讨论． (1) 当z(?) ? z(?)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[?, ?]到D内的单射，z(t)?C1[?, ?]，且在[?, ?]上，| z’(t) | ? 0．因? 是曲线C在映射f下的象，所以? 可表示为w = f(z(t)) (? ? t ? ?)． ?t?[?, ?]，z(t)?D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析，因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)．显然，f’(z(t))z’(t)在[?, ?]上是连续的，所以f(z(t))?C1[?, ?]．因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到?的单射，而z(t)是[?, ?]到D内的单射，故f(z(t))是[?, ?]到?内的单射．因在D内有f’(z) ? 0，故在[?, ?]上，| f’(z(t))z’(t) | = | f’(z(t)) | · |z’(t) | ? 0．所以，? 是光滑曲线． (2) 当z(?) = z(?)时，C是闭曲线．此时z(t)?C1[?, ?]；在[?, ?]上，有| z’(t) | ? 0；z’(?) = z’(?)；?t1?[?, ?]，?t2?(?, ?)，若t1 ? t2，则z(t1) ? z(t2)．与(1)完全相同的做法，可以证明f(z(t))?C1[?, ?]，且| f’(z(t))z’(t) | ? 0．由