平面向量总考试.pptVIP

平面向量 复 习 知识网络 单位向量及零向量 平行向量和共线向量 平行与垂直的条件 向量 向量有关概念 向量的运算 基本应用 向量的定义 相等向量及相反向量 向量的加法 向量的减法 实数和向量的积 向量的数量积 求长度 求角度 一、向量的概念 1、向量：既有 ，又有 的量 叫做向量。 大小 方向 二、向量的表示 1、代数字母表示： 2、几何有向表示： （有向线段、作图） 3、坐标表示：（综合运算） x y O (x,y) A x y （可运算） 向量的两要素： 大小 方向 和 （与位置无关，没有大小） 三、几个特点向量 3、相等向量： 的向量叫相等向量。 长度为1 任意的 平行 2、单位向量： 的向量叫单位向量。记作 。 1、零向量： 的向量叫零向量。记作 ， 零向量的方向是 ，零向量与任意向量 。 4、相反向量： 的向量叫相反向量。 5、平行向量： 的向量叫平行向量。 注意：共线向量也称平行向量 长度为零 长度相等，方向相反 长度相等，方向相同 表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上 6、请说出以上向量的相互关系？ 三、向量的运算 （一）向量的加法 A B C 三角形法则： A B C D 平行四边形法则： a b 2、坐标运算： 1、作图 （二）向量的减法 2、坐标运算： 1、作图 平行四边形法则： a b a b + a b + （1）长度： （2）方向： （三）数乘向量 4、平面向量基本定理 1、平面向量数量积的定义： 2、数量积的几何意义： O A B θ B1 (四) 数量积 4、运算律: 3、数量积的坐标运算 ①e·a=a·e=|a|cosθ ②a⊥b a·b=0 ③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b| a2=a·a=|a|2(a·a= ) ④cosθ= ⑤|a·b|≤|a|·|b| 平面向量的数量积a·b的性质: 四、向量垂直的判定 五、向量平行的判定(共线向量的判定) 六、向量的长度 七、向量的夹角 向量表示 坐标表示 向量表示 坐标表示 特别注意： 由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应 排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共 线。 例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。 典型例题分析: 解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。 例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1 k=-λ k=-1 ∴k=-1 ∴ 例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用a、b表示c。 解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b 例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a 解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8) 例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____ 解：法1