华南理工大学高等数学统考试卷上2009解.docVIP

PAGE 1 华南理工大学高数试卷2009 _____________ ________ … _____________ ________ …填空题 (共5小题,每小题3分,共1 _____________ ________ … _____________ ________ … 1．设时,与是同阶无穷小,则_________3______； 2．设，则； 3．若曲线的拐点为（1, 3），则常数，； 4．曲线的渐近线方程为； 5.在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为 ． 计算下列各题 (共4小题,每小题5分,共20分) 已知，指出函数的间断点及其类型． 为间断点……….2分 ………3分 从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第二类无穷型间断点 ………………………………………………………………………………..1分 设函数在点处可导，求的值． 从而…………3分 由可导知……………………………………………………..2分 已知，试确定常数和的值． 用罗比达法则…….2分 ……….3分 4．． …………3分 ……………………..2分 解答下列各题 (共3小题,每小题6分,共18分) 1．由方程确定了隐函数，求微分． ……………5分 即……………1分 2．求由参数方程所确定函数的二阶导数． ……………3分 …………….3分 3．已知函数连续，，求． ………….3分 ………3分 四. 解答下列各题(共4小题,每小题6分,共24分) 1．…….6 2．． 令，则，当时，当时，……2分 原式=……………3分 ……………………….1分 3．． = 4．已知三点,和,计算：(1)以,为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于,的单位向量． …………3分 ……………………….3分 五. 解答下列各题(共2小题,每小题6分,共12分) 求和围成图形的公共部分的面积． ………..4分 =………………………………………2分 2．求由曲线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成立体的体积． =…………4分 ……………………………………2分 六. 证明下列各题(共2小题) 1．(本题6分)设函数在上连续，利用定义证明函数在上可导，且． =，……………..2分 因为在上连续，由积分中值定理得 ，其中，………..2分 再利用的连续性得 .故………………………………….2分 2．(本题5分)设函数在上连续，且，，试证： （1）存在 ，使得； （2）若在上可导，则存在，使得． （1），由积分第一中值定理的，存在 ，使得，故存在 ，使得……….3分 （2）由积分中值定理，存在，使得.由拉格朗日中值定理， 则存在，使得，由（1）知.…………………..2分 另：（1）反证法，该法省去了记第一积分中值定理，有优势。 若不存在，使得，则有所有有 由已知 从而推出，矛盾。推导合乎逻辑，由此得证结论（1）。 （2）当导函数连续时，也可以用反证法。但较繁无优势。 由已知 从而 若不存在，使得，则有所有有 由此推出 矛盾。推导合乎逻辑，由此得证结论（2）。