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尤承业基础拓扑学讲义部分课后习题参考答案（第二版） 数学与统计学学院 December 24, 2015 1 第 20-21 页（拓扑空间） 练习 1 (1.). • 写出集合X {ab} 上的所有拓扑． 解 • τ1 {0/ X } ； – τ2 {{a} {b}0/ X } ； – τ3 {{a}0/ X } ； – τ4 {{b}0/ X }． 练习 2 (2.). • 设X {x yz}，下列子集族是不是X 的拓扑？如果不是，请添加最少子集使它 们成为拓扑． { } （1） X 0/ {x } {yz} ； { } （2 ） X 0/ {x y } {x z} ； { } （3 ） X 0/ {x y } {x z} {yz} ． 解 （1） 是． （2 ） 不是．添加 {x }． （3 ） 不是．添加 {x } {y } {z}． 练习 3 (3.). • 在 上规定子集族τ {−∞a|a ∈ } ∪ {0/ }，则τ 是拓扑． 证明 • 只需证明τ 对有限交和任意并是封闭的． – 显然对任意两个实数ab，不妨假设a ≤ b，则 −∞a ∩ −∞b −∞a ∈ τ ． – 任取A ⊆ ，令µ supA （可以是∞ ），则∪a∈A −∞a −∞µ ∈ τ ． 1 练习 4 (4.). • 设τ 是X 上的拓扑，A 是X 的一个子集，则 ′ {A ∪ U |U ∈ } { } τ τ ∪ 0/ 也是X 的拓扑． 证明 ′ • 显然0/ X ∈ τ ． – 设 U U ∈ τ ，则 A ∪ U ∩ A ∪ U A ∪ U ∩ U ∈ τ ′ ． 1 2 1 2 1 2 – 任取 ⊆ τ ，则 ∪ ∪ ) ′ A ∪ U A ∪ U ∈ τ U∈ U∈ 练习 5 (4.). • 证明X 上任意一族拓扑之交仍是X 上的拓扑． 证明 • 设 {τλ |λ ∈ Λ} 是X 的一族拓扑，τ ∩ τλ ． λ ∈Λ 1. 显然0/ X ∈ τ ； (a) 任取U U ∈ τ ，则对任意的λ ∈ Λ 有 U U ∈ τ ．由于τ 是拓扑，有U ∩ U ∈ τ ， 1 2 1 2 λ λ 1 2 λ 所以 U ∩ U ∈ τ ； 1 2 (b) 任取 ⊆ τ ，则 ⊆ τλ 对任意的 λ 成立．由于 τλ 是拓扑，有 ∪ U ∈ τλ ，从而