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2014年北约自主招生数学试题
1.圆心角为的扇形面积为,求它围成的圆锥的表面积.
1.【解】设扇形的半径为,则由,得.
于是扇形的弧长为,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,
所以底面面积为,也所以圆锥的表面积为.
2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.
2.【解】由题知所有分组方法有种.
3.如果的值域为,求的取值范围.
3.【解】由题意的值域包含区间,则与有交点,
故,解得或.
4.设,且,求.
4.【解】由得;
,由数学归纳法可推导得,
所以.
5.已知且都是负数,求的最值.
5.【解】由可知,,
所以,即,
令,则易知函数在上递减,所以其在上递减,
于是有最小值,无最大值.
6.已知在上是奇函数,求.
6.【解】奇函数,故.
7.证明是无理数.
7.【证明】由三角公式,
若是有理数,则为有理数,再由和可得为有理数,这与为无理数矛盾!因此,是无理数.
8.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根.
8.【证】由题可设,其中,
则,
由有两个不同的实根,则必有异号,且,
此时,
即,所以,
故此时观察可知,
同号,且,,故恒成立,即证明没有实根.
9.是等差数列,,问:是否可以同时在中,并证明你的结论.
9.【解】不可以同时在中,下面给予证明.假设同时在中,
设,其中为公差,则
于是存在正整数,使得从而
也所以,由于21,32互质,且为整数,则有,
但,矛盾!假设错误,即证明不可以同时在中.
10.已知,且,求证:.
10.【证】(一法:数学归纳法)①当时,左边右边,不等式成立;
②假设时,不等式成立.
那么当时,则,由于这个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设,
从而,所以
其中推导上式时利用了及时的假设,故时不等式也成立.
综上①②知,不等式对任意正整数都成立.
(二法)左边展开得
由平均值不等式得
故
,即证.
(三法)由平均值不等式有
……①;……②
①+②得,即成立.
2013年北约自主招生数学试题与答案
(时间90分钟,满分120分)
以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
解析:显然,多项式的系数均为有理数,且有两根分别为和.于是知,以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.
若存在一个次数不超过4的有理系数多项式,其两根分别为和,其中不全为0,则:
即方程组:,有非0有理数解.
由(1)+(3)得: (6)
由(6)+(2)得: (7)
由(6)+(4)得: (8)
由(7)(5)得:,代入(7)、(8)得:,代入(1)、(2)知:.于是知,与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式,其两根分别为和.
综上所述知,以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.
在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,共有几种停放方法?
A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400
解析:先从6行中选取3行停放红色车,有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择;最上面一行的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有5种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置有3!=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.
已知,求的值.
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
解析:根据条件知:
由两式相减得故或
①若则,解得.于是知或.
当时,
.
当时
.
(2)若,则根据条件知:,于是,
进而知.
于是知:.
综上所述知,的值为或.
数列满足,前项和为,求.
A. 3019?2 2012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D.无法确定
解析:根据条件知:.又根据条件知:.
所以数列.
又.令,
则,所以.即.
对,两边同除以,有,即.令,则,,于是知.所以.于是知:.
5.如图,中,为边上中线,分别的角平分线,试比较与的大小关系,并说明理由.
A. BM+CNMN
B. MN?CN?MN
C. BM+CN?MN
D.无法确定
解析:如图,延长到,使得,连接.易知,所以.又因为分别为的角平分线,所以,知为线段的垂直平分线,所以.所以.
6.模长为1的复数,满足,求的模长.
A. ?1/2
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