§2.3连续型随机变量及其概率分布.PDF

§2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、连续型随机变量的概念 定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数f ( x ), 使得 x F x f t t − ∞ x +∞ ( ) ∫ ( )d −∞ 其中F ( x )是它的分布函数 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度 注1：连续性随机变量的分布函数连续. 注2：f (x) 不唯一. 分布函数F ( x )与密度函数f ( x ) 的几何意义 f ( x) 0.08 y f (x) F ( x ) 0.06 0.04 0.02 -10 -5 5 x x p.d.f. f ( x ) 的性质 1、 f (x) ≥ 0 +∞ 2、∫ f (x)dx F (+∞) 1 −∞ 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 随机变量的密度函数，或求其中的未知参数 3、在f ( x ) 的连续点处， f (x) F ′(x) f ( x ) 描述了X 在x 附近单位长度的区间内 取值的概率 f (x 0 )∆x ≈ P (x 0 X ≤ x 0 + ∆x ) 注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值 事实上 (X a) ⊂ (a − ∆x X ≤ a) ∆x 0 a 0 ≤ P (X a) ≤ P (a − ∆x X ≤ a) ∫ f (x)dx a−∆x a ≤ P X a ≤ f x x 0 ( ) lim ∫ ( )d 0 ∆x →+0 a−∆x P (X a) 0 命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零 强调概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生) 对于连续型随机变量X P a X ≤ b ( ) P (a ≤ X ≤ b) P (a X b) P a ≤ X b (