大学高等数学上册--1.1-数列的极限.pptVIP

* 故极限存在， 备用题 1.设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 ∴数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则 2. 设 证: 显然 证明下述数列有极限 . 即 单调增, 又 存在 “拆项相消” 法 * 刘徽(约225 – 295年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重 差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 : * 柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 * 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 * * * * * * * * * * * * * * * * 第1章 数列极限与数项级数 § 1.1 数列的极限 * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 引例1、割圆术： 播放 ——刘徽 § 1.1.1 数列极限的定义 * 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 * 引例2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” * 例如 * 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 * 播放 数列的极限的定义 * 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: * * 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： * 几何解释: 其中 * 数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意： 几何解释: * 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 * 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . * § 1.1.2 收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 定理1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 * 定理2 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 虽有界但不收敛 . 数列 * 定理3. 收敛数列的保序性. 证: 取 * * § 1.1.3 收敛数列的四则运算 定理4 . 若 则有 * §1.1.4 数列收敛的判别法 例5.例6 见书。 准则1 (夹逼定理) 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 * 例7. 证明 证: 利