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双曲线的渐近线和离心率问题

第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 [题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一,也是高考热点,其性质是考查的重点,尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外,也会在填空题中考查,一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本. 常考题型精析 题型一 双曲线的渐近线问题 例1 (1)(2015·重庆)设双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为________. (2)(2014·江西)如图,已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-y2=1(a0)的右焦点为F.点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点). ①求双曲线C的方程; ②过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:eq \f(x0x,a2)-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=eq \f(3,2)相交于点N.证明:当点P在C上移动时,eq \f(MF,NF)恒为定值,并求此定值. 点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y=±eq \f(b,a)x?eq \f(x,a)±eq \f(y,b)=0?eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=0,所以可以把标准方程eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a0,b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程. (2)已知双曲线渐近线方程:y=eq \f(b,a)x,可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ (λ≠0),求出λ即得双曲线方程. 变式训练1 (2014·山东改编)已知ab0,椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1,C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2),则C2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题 例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则下列命题正确的是________. ①对任意的a,b,e1e2; ②当ab时,e1e2;当ab时,e1e2; ③对任意的a,b,e1e2; ④当ab时,e1e2;当ab时,e1e2. (2)已知O为坐标原点,双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a0,b0)的右焦点为F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B,若(eq \o(AO,\s\up6(→))+eq \o(AF,\s\up6(→)))·eq \o(OF,\s\up6(→))=0,则双曲线的离心率e为________. 点评 在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=eq \f(c,a)是一个比值,故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e,并且需注意e1.同时注意双曲线方程中x,y的范围问题. 变式训练2 (2014·湖南)如图,O为坐标原点,椭圆C1:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2.已知e1e2=eq \f(\r(3),2),且F2F4=eq \r(3)-1. (1)求C1,C2的方程; (2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值. 题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题 例3 (2014·福建)已知双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线E的离心率; (2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,请说明理由. 点评 解决此类问题:一是利用离心率公式,渐近线方程,斜率关系等列方程组.二是数形结合,由图形中的位置关系,确定相关参数的范围. 变式训练3 (2014·浙江)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线eq \f(x2,a2)-eq

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