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数列极限的定义 Sx05 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 怎样求圆的面积S？ 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6?2n-1边形面积, ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n??时, An的变化趋势. 二、数列的定义 如果按照某一法则, 对每一n?N?, 对应着一个确定的实数 xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ? , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 数列举例: 2, 4, 8, ? ? ? , 2n , ? ? ? ; 1, -1, 1, ? ? ? , (-1)n+1, ? ? ? . 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), n?N? . 数列与函数 数列的几何意义 数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ?. x1 x5 x4 x3 x2 xn 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面图形的观察: “无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有多接近. 想要|xn?1|10??, 想要|xn?1|10?4, 想要|xn?1|10?k, 想要|xn?1|? , 当n→∞, xn→a . ?当n→∞, |xn-a|→0 . ?当n→∞, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ?当n增大到一定程度以后, |xn-a|ε, （ε为事先给定的任意小的正数）. 分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a. 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a. 怎样用数学语言描述？ 数列极限的定义 设{xn}为一数列? 如果存在常数a? 对于任意给定的正数e ? 总存在正整数N? 使得当nN 时? 不等式 |xn?a |e 都成立? 则称常数a是数列{xn}的极限? 或者称数列{xn}收敛于a? 记为 如果不存在这样的常数a? 就说数列{xn}没有极限? ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 极限定义的简记形式 ——“ ? – N ” 定义 a a-e a+e ( ) 数列极限的几何意义 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 存在 N?N?? 当nN时? 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外: 当nN时? 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内: 任意给定a的e邻域(a-e, a+e), 例1： ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 证明 ： 例2： ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 证明： 例3： 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, ? ? ? , qn-1, ? ? ? 的极限是0. 对于?? ?0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1e , 只要nlog|q|e +1就可以了. ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 证明： 因为?? ?0, ?N=[ log|q|e +1]?N?? 当n?N时, 有 |qn-1-0|=|q|n-1e , 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 作 业 P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定