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热学(李椿章立源钱尚武)习题解答-第-三-章--气体分子热运动速率和能量的统计分布律
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下:
粒子数Ni
2
4
6
8
2
速率Vi(m/s)
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
试求(1)平均速率V;(2)方均根速率(3)最可几速率Vp
解:(1)平均速率:
(m/s)
(2) 方均根速率
(m/s)
3-2 计算300K时,氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解:
3-3 计算氧分子的最可几速率,设氧气的温度为100K、1000K和10000K。
解:代入数据则分别为:
T=100K时
T=1000K时
T=10000K时
3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率,求T2/T1。
解:因
由题意得:
∴T2/T1=
3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数(在计算中可将dv近似地取为△v=1m
解:设1.0cm3氮气中分子数为N,速率在500~501m/s之间内的分子数为△N,由麦氏速率分布律:
N=
∵ Vp2= EQ \F(2KT,m) ,代入上式
△N=
因500到501相差很小,故在该速率区间取分子速率V =500m/s,
又 △V=1m/s
( EQ \F(v,vp) =1.24)代入计算得:△N=1.86×10-3N个
3-6 设氮气的温度为300℃,求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2
解: 取分子速率为V1=3000m/s
V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s
由5题计算过程可得:
△V1=
△N2=
∴ △N/△N2=
其中VP=m/s
EQ \F(v1,vp) =1.375, EQ \F(v2,vp) =0.687
∴
解法2:若考虑△V1=△V2=10m/s比较大,可不用近似法,用积分法求△N1,△N2
dN=
△N1=
△N2=
令Xi= EQ \F(vi,vp) i=1、2、3、4利用16题结果:
∴ △N1= (1)
△N2= (2)
其中VP=
查误差函数表得:
erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489
erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722
将数字代入(1)、(2)计算,再求得:
3-7 试就下列几种情况,求气体分子数占总分子数的比率:
速率在区间vp~1.0vp1内
速度分量vx在区间vp~1.0vp1内
速度分量vp、vp、vp同时在区间vp~1.0vp1内
解:设气体分子总数为N,在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3
由麦氏速率分布律:
N=
令v2=1.01vp,vi=vp,,则,,利用16题结果可得;
查误差函数表:erf(x1)=0.8427 erf(x2)=0.8468
∴
由麦氏速率分布律:
∴
令, ,
∴
利用误差函数:
(3)令,由麦氏速度分布律得:
3-8根据麦克斯韦速率分布函数,计算足够多的点,以dN/dv为纵坐标,v为横坐标,作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。
解:由麦氏速率分布律得:
将π=3.14,N=NA=6.02×1023T=100K
m=32×10-3代入上式得到常数:
A=
∴ (1)
为了避免麻烦和突出分析问题方法,我们只做如下讨论:
由麦氏速率分布律我们知道,单位速率区间分布的分子数随速率的变化,必然在最可几速率处取极大值,极大值为:
令则
得
又在V=0时,y=0,V→∞时,y→0
又
∵T1=100K<T2=400K
∴< 由此作出草图
3-9根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数的平均值。
解:
3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔,容器贮有100℃
求容器内水银蒸汽分子的平均速率。
每小时有多少克水银从小孔逸出?
解:(1)
(2)逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数,所以每小时从小孔逸出的分子数为:
其中是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数,是小孔面积,t=3600s,故,代入数据得:
N=4.05×1019(个)
∴
3-11如图3-11,一容器被一隔板分成两部分,其中气体的压强,分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同,都等于T。摩尔质量也相同,均为μ。试证明:如隔板
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